指数函数
知识讲解
一、指数函数
1.定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；
2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．
2.函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的，函数的图象关于轴对称，的图象关于x轴对称；的图象关于直线对称．
4）有两个特殊点：零点，不变点．
5）抽象性质：
3函数值的变化特征：
①，
②，
③
①，
②，
③，
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若指数函数的图象过点（﹣1，2），则此指数函数是（ ）
A．
B．y=2x
C．y=3x
D．y=10x
【解答】解：设指数函数的解析式为
y=ax，
函数过点（﹣1，2），则a﹣1=2，
解得：，
即函数的解析式为．
故选：A．
2．已知a=0.32；b=0.31.5；c=20.3，则（ ）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．a＞b＞c
【解答】解：∵y=0.3x为减函数，2＞1.5＞0，
故a=0.32＜b=0.31.5＜0.30=1，
∵y=2x为增函数，0.3＞0，
故c=20.3＞20=1，
故c＞b＞a，
故选：C．
3．函数y=ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【解答】解：根据题意，由y=ax的单调性，
可知其在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，取得最值，
即a0+a1=3，
再根据其图象，可得a0=1，
则a1=2，
即a=2，
故选：A．
4．设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（ ）
A．不存在
B．有且只有一条
C．至少有两条
D．有无数条
【解答】解：根据题意，设直线l的方程为y=m，
∵△ABC是等边三角形，
∴点C到直线AB的距离为，
∴m﹣2x=，
∴m﹣=，
解得m=，
故而符合条件的直线l只有1条．
故选：B．
5．y=2|1﹣x|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数y=2|1﹣x|的解析式可化为：
y=
其函数图象关于直线x=1对称，
在区间（1，+∞）上是单调递增
故选：B．
6．方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞1
B．b＜1
C．0＜b＜1
D．0＜b≤1
【解答】解：由题意方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根可转化为两函数y=|2x﹣1|与y=b有两个交点
∵y=|2x﹣1|在（﹣∞，0）上是减函数，
在（0，+∞）上是增函数，且在（﹣∞，0）上值域是（0，1），
在（0，+∞）上值域是（0，+∞）
∴0＜b＜1
故选：C．
二．填空题（共4小题）
7．函数y=2x﹣1的值域为 {y|y＞﹣1} ．
【解答】解：由于
2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，故函数
y=2x﹣1的值域为（﹣1，+∞），
故答案为
（﹣1，+∞）．
8．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是 （1，2） ．
【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，
∴0＜a﹣1＜1，
解得1＜a＜2；
∴实数a的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
9．函数y=（a2﹣3a+3）?ax是指数函数，则a的值为 2 ．
【解答】解：由题意得：
a2﹣3a+3=1，即（a﹣2）（a﹣1）=0，
解得：a=2或a=1（舍），
故答案为：2．
10．若a＞0且a≠1，则函数y=ax﹣1﹣1的图象经过定点 （1，0） ．
【解答】解：∵函数y=ax的图象过点（0，1），
而函数y=ax﹣1﹣1的图象是把函数y=ax的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，
∴函数y=ax﹣1﹣1的图象必经过的点（1，0）．
故答案为：（1，0）．
三．解答题（共3小题）
11．已知函数f（x）=ax﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
【解答】解：（1）由题意得
所以
（2）由（1）得
因为函数在[0，+∞）上是减函数
所以当x=0时f（x）由最大值
所以f（x）max=2
所以f（x）∈（0，2]
所以函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]．
12．已知函数f（x）=+4．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）要使函数有意义，只需﹣x2+4x+5≥0，
即x2﹣4x﹣5≤0
解得{x|﹣1≤x≤5}（4分）
（2）令u=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9
∴0≤u≤9，∴0≤≤3，（8分）
∴y=2u+4，u∈[0，3]的值域为[5，12]（10分）
13．已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
【解答】解：（1）由已知得（）﹣a=2，解得a=1．
（2）由（1）知f（x）=（）x，
又g（x）=f（x），则4﹣x﹣2=（）x，即（）x﹣（）x﹣2=0，即[（）x]2﹣（）x﹣2=0，
令（）x=t，则t2﹣t﹣2=0，即（t﹣2）（t+1）=0，
又t＞0，故t=2，即（）x=2，解得x=﹣1，
满足条件的x的值为﹣1．
指数函数
知识讲解
一、指数函数
1.定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；
2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．
2.函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的，函数的图象关于轴对称，的图象关于x轴对称；的图象关于直线对称．
4）有两个特殊点：零点，不变点．
5）抽象性质：
3函数值的变化特征：
①，
②，
③
①，
②，
③，
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若指数函数的图象过点（﹣1，2），则此指数函数是（ ）
A．
B．y=2x
C．y=3x
D．y=10x
2．已知a=0.32；b=0.31.5；c=20.3，则（ ）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．a＞b＞c
3．函数y=ax在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=（ ）
A．2
B．
C．4
D．
4．设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（ ）
A．不存在
B．有且只有一条
C．至少有两条
D．有无数条
5．y=2|1﹣x|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞1
B．b＜1
C．0＜b＜1
D．0＜b≤1
二．填空题（共4小题）
7．函数y=2x﹣1的值域为
．
8．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是
．
9．函数y=（a2﹣3a+3）?ax是指数函数，则a的值为
．
10．若a＞0且a≠1，则函数y=ax﹣1﹣1的图象经过定点
．
三．解答题（共3小题）
11．已知函数f（x）=ax﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
12．已知函数f（x）=+4．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的值域．
13．已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
