对数函数
知识讲解
一、对数函数的图像与性质
①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，．
当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称．
类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
（取对数法）
三、对数函数有关的性质
（1）与；与；与
关于对称，
（2）已知,则
（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．函数f（x）=（a2+a﹣5）logax为对数函数，则f（）等于（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣log36
D．﹣log38
【解答】解：∵函数f（x）=（a2+a﹣5）logax为对数函数，
∴，解得a=2，
∴f（x）=log2x，
∴f（）==﹣3．
故选：B．
2．设，，，那么（ ）
A．c＞b＞a
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b
【解答】解：∵，，，
∴＞=1，
＜log31=0，
0＜＜30=1，
∴a＞c＞b．
故选：D．
3．函数y=3+loga（2x+3）的图象必经过定点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，4）
C．（0，1）
D．（2，2）
【解答】解：令2x+3=1，求得x=﹣1，y=3，故函数y=3+loga（2x+3）的图象必经过定点P的坐标（﹣1，3），
故选：A．
4．函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，1）
C．（0，）
D．（3，+∞）
【解答】解：∵函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，
根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，
故选：D．
5．函数f（x）=loga（4x﹣3）过定点（ ）
A．（1，0）
B．（）
C．（1，1）
D．（）
【解答】解：对数函数恒过（1，0）点，则函数f（x）=loga（4x﹣3），4x﹣3=1，x=1可知函数过的定点（1，0）
故选：A．
二．填空题（共4小题）
6．对数函数f（x）的图象经过点（，2），则f（x）= ．
【解答】解：设数函数f（x）=，（a＞0且a≠1）
∵图象经过点（，2），
∴=2
得a=
∴f（x）=
故答案为：
7．对数函数y=log（a+1）x中实数a的取值范围是 {a|a＞﹣1且a≠0} ．
【解答】解：由a+1＞0且a+1≠1，得a＞﹣1且a≠0．
所以对数函数y=log（a+1）x中实数a的取值范围是{a|a＞﹣1且a≠0}．
故答案为{a|a＞﹣1且a≠0}．
8．方程log2（log5x）=1的解为 25 ．
【解答】解：∵log2（log5x）=1=log22，
∴log5x=2，
∴x=25，
故答案为：25
9．比较lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是 lg2 ，最小的是 lg（lg2） ．
【解答】解：∵lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，
∴最大的是lg2，最小的是lg（lg2）．
故答案分别为：lg2，lg（lg2）．
三．解答题（共2小题）
10．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）要使函数的解析式有意义，
自变量x须满足：，可得﹣2＜x＜2．
故函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域为（﹣2，2）．
（2）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，∵﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4，
∵y=lgx，为增函数，
∴f（x）的最大值为lg4，
∴m的取值范围为m＜lg4．
11．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．
（1）求如图阴影部分表示的集合；
（2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由（x+3）（x﹣6）≤0，得﹣3≤x≤6，即A=[﹣3，6]，
由0＜x+2＜16，解得﹣2＜x＜14，即B=（﹣2，14），
∵阴影部分为A∩CRB，
∴A∩CRB=[﹣3，﹣2]．
（2）∵C={x|x＞2a且x＜a+1}，
∴①2a≥a+1，即a≥1时，C=?，成立；
②2a＜a+1，即a＜1时，C=（2a，a+1）?（﹣2，14），
则，
解得﹣1≤a＜1．
综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．
对数函数
知识讲解
一、对数函数的图像与性质
①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，．
当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称．
类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
（取对数法）
三、对数函数有关的性质
（1）与；与；与
关于对称，
（2）已知,则
（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．函数f（x）=（a2+a﹣5）logax为对数函数，则f（）等于（ ）
A．3
B．﹣3
C．﹣log36
D．﹣log38
2．设，，，那么（ ）
A．c＞b＞a
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b
3．函数y=3+loga（2x+3）的图象必经过定点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，4）
C．（0，1）
D．（2，2）
4．函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，1）
C．（0，）
D．（3，+∞）
5．函数f（x）=loga（4x﹣3）过定点（ ）
A．（1，0）
B．（）
C．（1，1）
D．（）
二．填空题（共4小题）
6．对数函数f（x）的图象经过点（，2），则f（x）=
．
7．对数函数y=log（a+1）x中实数a的取值范围是
．
8．方程log2（log5x）=1的解为
．
9．比较lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是
，最小的是
．
三．解答题（共2小题）
10．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
11．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．
（1）求如图阴影部分表示的集合；
（2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值范围．
