函数的奇偶性
知识讲解
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．
二、奇偶函数的图象特征
1.函数是偶函数的图象关于轴对称；
2.函数是奇函数的图象关于原点对称．
三、判断函数奇偶性的方法
1.定义法：
首先判断其定义域是否关于原点中心对称．
若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断或是否为恒等式．
定义的等价形式：，．
2.图象法
3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
四、奇偶函数的性质
1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2.函数是偶函数的图象关于轴对称；
3.函数是奇函数的图象关于原点对称．
4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
5.若奇函数的定义域包含0，则．
五、常见函数的奇偶性
1.正比例函数是奇函数；
2.反比例函数是奇函数；
3.函数是非奇非偶函数；
4.函数是偶函数；
5.常函数是偶函数；
6.对勾函数是奇函数；
经典例题
一．填空题（共12小题）
1．给定四个函数：①y=x3+；②y=（x＞0
）；③y=x3+1；④y=．其中是奇函数的有 ①④
（填序号）．
【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；
②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；
③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；
④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，
故答案为：①④
2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）= ﹣x2﹣3x ．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
若x＞0，则﹣x＜0，
∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，
∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），
∴f（x）=﹣x2﹣3x，
故答案为：x2﹣3x，
3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较与f（1+a+a2）的大小关系为 f（1+a+a2）≤f（﹣） ．
【解答】解：根据题意，1+a+a2=（+a+a2）+=（a+）2+≥，
则又由f（x）在[0，+∞）上递减，
则有f（1+a+a2）≤f（），
又由f（x）是R上偶函数，
则有f（1+a+a2）≤f（﹣），
故答案为：f（1+a+a2）≤f（﹣）．
4．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求
a的取值范围 （） ．
【解答】解：因为f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．
所以f（a﹣2）＜f（4﹣a2）等价于，
化简可得解可得＜a＜2．
故答案为（）．
5．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则a的取值范围= （，+∞） ．
【解答】解：根据题意，2a2+a+1=2（a2+a+）+=2（a+）2+≥，
而2a2﹣2a+3=2（a2﹣a+）+=2（a﹣）2+≥；
由f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f（x）在（0，+∞）上递减．
若f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，即3a﹣2＞0，解可得a＞，则a的取值范围（，+∞）；
故答案为：（，+∞）．
6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是 a＜ ．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，
且f（0）=0，f（x）是奇函数
∴f（x）是R上的增函数．
由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），
于是3﹣a2＞2a﹣a2，
因此，解得a＜．
故答案为：a＜．
7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3 ．
【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，
∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．
解得a=2，b=1．
∴a+b=3．
故答案为：3．
8．若f（a+b）=f（a）?f（b）且f（1）=2．则++…+= 4022 ．
【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）
∴=f（1）=2
∴=2.=2．…=2
∴++…+=2011×2=4022．答案：4022．
9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）= 3p+2q ．
【解答】解：由题意可知：
f（6）=f（2）+f（3）=p+q
∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q
∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q
∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q
故答案为：3p+2q．
10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．
【解答】解：（1）令x1=x2=1，
∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1
∴f（1）=1，
（2）：设令0＜x1＜x2，
∵＞1，当x＞1时，f（x）＞1
∴f（）＞1，
∴f（?x1）=f（x2）=f（）+f（x1）﹣1＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）令x1=x2=4，
∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3
∴f（4）=2，
∴f（3x+1）≤2=f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴，
解得＜x≤1，
故不等式f（3x+1）≤2的解集为（，1]．
11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是 （0，） ．?
【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），
令x=36，y=6，得
f（36）﹣f（6）=f（6）
∴f（36）=2f（6）=2，
∵f（x+3）＜f（）+2，
∴f（x+3）﹣f（）=f（x（x+3））＜2=f（36），
∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，
∴0＜x＜
故不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是（0，），
故答案为：（0，），
12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为 [﹣，] ．
【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），
设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，
令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），
即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；
令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，
即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），
即有f（x）在R上为增函数；
令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，
∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）
∴2x2﹣1＜4，
解得﹣＜x＜
则解集为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
二．解答题（共6小题）
13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．
【解答】证明：定义域关于原点对称，
令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0，
令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
14．判断并证明下列函数的奇偶性．
（Ⅰ）f（x）=|x|+；
（Ⅱ）f（x）=x2+2x；
（Ⅲ）f（x）=x+．
【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0
f（﹣x）=|﹣x|+=f（x），
故函数为偶函数；
（Ⅱ）函数的定义域为R，
且f（x）=x2+2x的图象为抛物线，
对称轴为x=﹣1，不关于y轴对称，
也不关于原点对称，故函数非奇非偶；
（Ⅲ）可得x≠0，
f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），
故函数为奇函数．
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=3，x∈R；
（2）f（x）=5x4﹣4x2+7，x∈[﹣3，3]；
（3）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|；
（4）f（x）=．
【解答】解：（1）由f（﹣x）=3=f（x），x∈R，
可得函数f（x）为偶函数；
（2）f（﹣x）=5（﹣x）4﹣4（﹣x）2+7
=5x4﹣4x2+7=f（x），x∈[﹣3，3]，
可得函数f（x）为偶函数；
（3）定义域为R，
f（﹣x）=|﹣2x﹣1|﹣|﹣2x+1|
=|2x+1|﹣|2x﹣1|=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数；
（4）f（x）=，
定义域为R，
当x＞0时，﹣x＜0，可得f（﹣x）=（﹣x）2﹣1=x2﹣1=﹣f（x），
当x=0可得f（0）=0；
当x＜0时，﹣x＞0，可得f（﹣x）=1﹣（﹣x）2=1﹣x2=﹣f（x），
即有f（﹣x）=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数．
16．判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=a
（a∈R）
（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2
（3）f（x）=．
【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；
（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．
（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，
在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=是奇函数．
17．已知函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．
【解答】解：（1）函数是奇函数，且，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
即为=﹣，
可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，
解得b=0；
又=，
解得a=2；
（2）函数f（x）=在（﹣∞，﹣1]上单调递增；
理由：设x1＜x2≤﹣1，
则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）
=（x1﹣x2）（1﹣），
由x1＜x2≤﹣1，
可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，
即有1﹣＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．
18．已知f（x）=．
（1）求f（x）+f（）的值；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=．
∴f（x）+f（）=+=+=1，
（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）=7．函数的奇偶性
知识讲解
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．
二、奇偶函数的图象特征
1.函数是偶函数的图象关于轴对称；
2.函数是奇函数的图象关于原点对称．
三、判断函数奇偶性的方法
1.定义法：
首先判断其定义域是否关于原点中心对称．
若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断或是否为恒等式．
定义的等价形式：，．
2.图象法
3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
四、奇偶函数的性质
1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2.函数是偶函数的图象关于轴对称；
3.函数是奇函数的图象关于原点对称．
4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
5.若奇函数的定义域包含0，则．
五、常见函数的奇偶性
1.正比例函数是奇函数；
2.反比例函数是奇函数；
3.函数是非奇非偶函数；
4.函数是偶函数；
5.常函数是偶函数；
6.对勾函数是奇函数；
经典例题
一．填空题（共12小题）
1．给定四个函数：①y=x3+；②y=（x＞0
）；③y=x3+1；④y=．其中是奇函数的有
（填序号）．
2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=
．
3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较与f（1+a+a2）的大小关系为
．
4．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求
a的取值范围
．
5．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），则a的取值范围=
．
6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是
．
7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b=
．
8．若f（a+b）=f（a）?f（b）且f（1）=2．则++…+=
．
9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=
．
10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．
11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是
．?
12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为
．
二．解答题（共6小题）
13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．
14．判断并证明下列函数的奇偶性．
（Ⅰ）f（x）=|x|+；
（Ⅱ）f（x）=x2+2x；
（Ⅲ）f（x）=x+．
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=3，x∈R；
（2）f（x）=5x4﹣4x2+7，x∈[﹣3，3]；
（3）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x+1|；
（4）f（x）=．
16．判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=a
（a∈R）
（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2
（3）f（x）=．
17．已知函数是奇函数，且．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．
18．已知f（x）=．
（1）求f（x）+f（）的值；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（）+…+f（）的值．
