集合的概念
一、单选题
1．下列四组对象能构成集合的是（
）
A．某班所有高个子学生
B．某校足球队的同学
C．一切很大的书
D．著名的艺术家
【解析】根据集合的定义，可得：
对于A中，某班所有高个子学生，其中元素不确定，不能构成集合；
对于B中，某校足球队的同学，满足集合的定义，能构成集合；
对于C中，一切很大的书，其中元素不确定，不能构成集合；
对于D中，著名的艺术家，其中元素不确定，不能构成集合.故选：B.
2．下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．{1}
D．
【解析】因为是有理数，所以，故A正确；
，，，故B、C、D选项都是错误的.故选：A
3．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为集合，所以，故选：D.
4．下列集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】A两个集合的元素不相同，点的坐标不同，
B两个集合的元素相同，C中M的元素为点，N的元素为数，
D中M的元素为点，N的元素为数，故A，C，D都不对．故选：B．
5．已知集合，，则集合中的元素个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，满足条件的平面内以为坐标的点集合，所以集合的元素个数为.故选：B.
6．下列集合中，结果是空集的是(
)
A．{x∈R|x2-1=0}
B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}
D．{x|x>6且x<1}
【解析】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D
7．集合，用列举法可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为且，所以的可取值有：，
所以列举法表示集合为：，故选：B.
8．若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由可得，用列举法表示为：，故选：B.
二、多选题
9．集合中有且仅有一个元素，则实数a的值为（
）
A．1
B．-1
C．0
D．2
【解析】当时，可得，符合题意；
当时，因为方程有唯一解，
所以.故选：AC.
10．下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由表示自然数集，知，故A正确；
由为无理数且表示有理数集，知，故B错；
由表示正整数集，知，故C错；
由表示整数集，知，故D正确.
故选：BC.
11．由实数0、、、、、所组成的集合中，含有元素的个数可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0，含有元素的个数为1个；当时，它们分别是，含有元素的个数为3个；
当时，它们分别是.，含有元素的个数为3个；故选：AC
12．下面表示同一个集合的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合；
B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合；
C选项中，集合P中有一个元素是点，集合
Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合；
D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知集合，用列举法表示集合，则__________.
【解析】,
14．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________
【解析】当；当；
当；当；和为
15．已知集合，且，则_________．
【解析】集合，，，且，
或，解得，或，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，符合题意．
综上，．
16．设集合，若，则实数m的取值范围是_______．
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以的取值范围为
四、解答题
17．用列举法表示下列集合：
（1）大于1且小于6的整数；
（2）；
（3）．
【解析】用列举法表示下列集合
（1）大于1且小于6的整数，；
（2）；所以
（3），
由解得，，故表示为，
18．用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【解析】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；
（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．
19．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
【解析】①若，则，此时，满足题意.
②若，则，此时，不满足元素的互异性.
③若，则.当时，，满足题意；当时，由②知不合题意.
综上可知或.
20．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【解析】（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，即中有一个或没有元素，当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
21．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【解析】(1)因为3∈A，所以，所以，
所以，所以.
(2)因为a∈A，所以，所以.
22．若a，，集合．
求：(1);
(2)．
【解析】(1)根据元素的互异性，得或，
若，则无意义，故;
(2)
由(1)得，即，据元素的互异性可得：，，
∴.
2
2集合的概念
一、单选题
1．下列四组对象能构成集合的是（
）
A．某班所有高个子学生
B．某校足球队的同学
C．一切很大的书
D．著名的艺术家
2．下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．{1}
D．
3．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．已知集合，，则集合中的元素个数为（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列集合中，结果是空集的是(
)
A．{x∈R|x2-1=0}
B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}
D．{x|x>6且x<1}
7．集合，用列举法可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
8．若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．集合中有且仅有一个元素，则实数a的值为（
）
A．1
B．-1
C．0
D．2
10．下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．由实数0、、、、、所组成的集合中，含有元素的个数可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．下面表示同一个集合的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知集合，用列举法表示集合，则__________.
14．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________
15．已知集合，且，则_________．
16．设集合，若，则实数m的取值范围是_______．
四、解答题
17．用列举法表示下列集合：
（1）大于1且小于6的整数；
（2）；
（3）．
18．用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
19．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
20．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
21．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
22．若a，，集合．
求：(1);
(2)．
2
2
