【精品课件】高考数学研讨会解题思路资料（阅卷相约）

(共49张PPT)
一、命题人相约
三、答题人相约
四、指导教师相约
高考备考
以人为本 相约四种人
二、阅卷人相约
（1）考场答题 同谁对话
（2）阅卷眼光 何处聚焦
（3）答点分离 考点分解
（4）数学答点 短语诗行
二、阅卷人相约
（5）答点中断 怎样争分
（6）阅卷日志 同谁分享
考场答题是“对话”！那么，考生在同谁对话？
（一）考场答题 同谁对话
其实，考场答题的目的只有一个字——分！
有人说，在同考题对话。
有人说，是考生自己与自己对话！
考分由谁来给？由阅卷人给！
因此，考场答题是在同阅卷人对话，向阅卷人汇报，向阅卷人上书，向阅卷人写信，向阅卷人讨分！
阅卷相约
考场答题 文字对话
高考答题所用的表达工具是文字语言。
（1）生动、得体属文科范畴的形象表达。
（2）简明、准确属理科范畴的逻辑表达。
（3）连贯、鲜明——是对各科文字表达的要求。
想清楚了的结果不一定能说得清楚，能说清楚的东西不一定能写得清楚。
考纲对文字语言的要求有六点：
准确、鲜明、生动、简明、连贯、得体。
阅卷相约
非关键字——数学较宽
数学中，把“象限”写成“像限”；把“辐角”写成“幅角”。字写错了，阅卷人还明白你的意思。
写字潦草，如把“30°”写成了“300”，不影响下部结果的，可扣可不扣分。
数学中，把“焦点”写成“交点”，把“充分条件” 写成“充要条件” ，则可能视作错误答案。
数学阅卷，一般不太注重答点外的非关键字词。
阅卷现场，又何只如此！
阅卷相约
【题目】 已知双曲线的方程为x2 –y2 = 1.
（Ⅰ）求双曲线的离心率.
【解答】 由双曲线方程 x2–y2 = 1. 易知
实半轴 a =1，虚半轴 b =1，
所以双曲线的半焦距 c =
【趣事】 不知什么原因，该生写到此处没有下文。
从卷面上看，本题所求的 e 并没有解出来结果来.
有趣的是，阅卷人就此小题给了满分4分.
（二）阅卷眼光 何处聚焦
阅卷相约
阅卷眼光 何处出漏
【题目】 已知双曲线的方程为 x2 – y2 = 1.
（Ⅰ）求双曲线的离心率. （Ⅱ）（略）.
【解答】 由双曲线方程 x2 – y2 =1. 易知
实半轴 a = 1，虚半轴 b = 1，
所以双曲线的半焦距 c =
【分析】 可能是该生看错了问题，把 c =
看成了e = .
阅卷人呢？他怎么也当成 e = ？
阅卷相约
讨论趣事 寻求解释
但有一点可以肯定，阅卷人一定看清楚了 .
本题答案正好巧合 e = = c.
【结论】看来, 阅卷人只在考生的答案上查找关键的字、词、句, 有时甚至是一个符号或一个数字, 并非在从头到尾地“欣赏”考生的“大块文章” .
于是, 我们要研究答案的聚焦点, 与阅卷人“对光”！
（1）考生将 c 当成了e ，可能是粗心；
（2）阅卷人则是根本没有看到这个 c .
阅卷相约
（三）答点分离 考点分解
备考按“考点”复习，考场按“答点”解题。
所谓答点，就是答案的要点。对客观题来讲，就是简单答案；
但对主观题讲，却是解与答的几个“分点”。
评分标准就是“分点标准”。因为主观题按“分点”计分，而阅卷人又在按分点判分。
因此研究主观题的答点分解，本身又成为一种“学问”。
既然出题学中有“考点”，那么答题学里就有“答点”！
阅卷相约
“答点”是对“考点”的分解
【说明】 2007年海南——宁夏卷的第21题。
【考题】 设函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求在区间 上的最大值和最小值．
（1）函数的单调区间； （2）函数的最值。
【考点】 导数法研究函数的性质，2个考点：
【思考】本题有 2个考点，那么答点也是2个吗？
阅卷相约
“答点”实为“得分点”
【考题】 设函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求在区间 上的最大值和最小值．
【说明】 本题满分12分 ：第（Ⅰ）问 6 分，第（Ⅱ）问也是6分. 12分的意思是：
本题答案细分之后，原则上有12个得分点.
12个得分点对应着答案分解后的12要点，这12要点就是本题的12个答点.
阅卷相约
问题（Ⅰ）的“ 6 答点”辨识
讨论函数 的单调性
【答点】易得的定义域为 （答点1）
（答点2）
（ 因为 所以） （交待）
（答点3）
（答点4）
阅卷相约
（Ⅰ）的“ 6 答点” （续）
讨论函数 的单调性
（答点6）
（答点5）
（答点4）
（补 充）
阅卷相约
“答点”点分——点亮阅卷
【说明】“答点”与“交待”或“补充”分离之后，在阅卷
现场，阅卷人的实际操作是：
拿着这（几个）答点在考生的答案上先找范围：
即相关的句段。
然后，阅卷人的目光在相关的句段中聚焦在“把关”的
（1）数字；（2）符号；（3）结论上。
数学语言是黑白语言，不要色彩；数学语言为是非语言，不要修饰；数学语言为明快语言，不要含蓄或暗示！
阅卷相约
体谅一下阅卷人：炎天暑热，任务繁重。他哪有精力…
答点明了 阅卷叫好
如果是，他的眼睛找花，不见所答；嘴里叫苦，心里骂妈！他只好快刀斩乱麻，尽打叉叉！
你写的东西，如果是只能自我陶醉、别人无法看懂的天书，阅卷人能给你的分吗？
如果是，他的眼睛一扫，答点明了；心情愉快，连声说好；那么他将大笔一挥，分数不少！
阅卷相约
（四）数学答点 短语诗行
解答题“分步记分”. 所谓“分步”，就是“答点分解”.
为了使阅卷人能迅速清楚地看到答点，建议数学答案的行文写成“诗行短语”，不要写成大块的“散文段落”.
这时，你的短语行数就是他应该给你的分数.
“诗行短语”容易显示“答点”，而“散文大段”容易“淹没”答点.
如果一行短语含一个“答点”，那么阅卷人则能一眼看清：
他所关心的几个“答点”是否到位！
阅卷相约
【考题】 （全国1卷第 21题）设数列 {an} 的首项 a1∈(0，1)，
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
诗行答案 锤炼而成
本大题满分12分，分配到问题 (Ⅰ)，满分只有4分。
【规划】对问题 (Ⅰ)的解答，如何规划“行数”？
规划“行数”：详则6行，略则4行。
【起草】 若在答纸上打算写 5 行，那么，在草纸上可以写到 10 行左右。诗行答点，是对草纸的提精！
阅卷相约
【解Ⅰ】 由 ，n =2，3，4，… .
得
所以 {1 – an}是首项为1 – a1 ，公比为 的等比数列
因为 1 – a1 ≠ 0 ，
即
为所求的通项公式.
【评说】 由、得、因为、所以、即，将诗行串成答案。
【考题】 （全国2卷 理21）设数列 {an} 的首项 a1∈(0，1)，
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
提精串答 逻辑链接
阅卷相约
(Ⅱ)设 ，证明 bn < bn+1，其中n为正整数
【解(Ⅱ)】欲使 bn< bn+1 （1）
【考题】数列 {an} 的首项 a1∈(0，1)，
n =2, 3, 4, … .
,
2
3
1
-
-
=
n
n
a
a
执果索因 短语天成
阅卷相约
即是
只须
即是
只须 (an-1)2 >0 ，
由（Ⅰ）的结果知（2）式真，从而（1）式真.
只须an≠1 （2）
易知 an>0
(Ⅱ)设 ，证明 bn < bn+1，其中n为正整数
【解析Ⅱ】由(Ⅰ)知 0 0. 那么，
即得 bn < bn+1 . （n为正整数）
> 0
( 因为an > 0， an ≠1 )
【评说】 本题“诗行”采用了“追补因为”的倒装式（红字），目的使“作差——变形——判定符号” 一气呵成，行文简洁.
【考题】数列 {an} 的首项 a1∈(0，1)，
n =2, 3, 4, … .
,
2
3
1
-
-
=
n
n
a
a
突出主干 追补交待
阅卷相约
为阅卷人帮忙
我把解答写诗行
要为阅卷帮帮忙
提示行中有答点
考官高兴好解囊
阅卷相约
如果把题设中的图形称作“题图”，那么解答中的图形可称“解图”. 解图是答案的组成部分，把问题的答点点亮.
解题插图 ——点明答点
若题设中已有题图，解图简单的时候，可直接“添画”到题图上； 解图复杂的时候，解图可另画在题图的下边.
无论是“添画”或“另画”解图，必须与正文形成一体，做到图文一体，互相呼应.
如在正文中加上“图注”，如在解图下（旁）加上“图说”
若题设中没有题图，解图可附正文旁边，也可插在正文当中.
阅卷相约
【考题】 （全国甲卷 理20）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求圆O 的方程；
(Ⅱ)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|
成等比数列，求 的取值范围.
【说明】 本题无“题图”，若在解答中插入“解图”，能增加解答情景，使答题人在插图中得到启示，产生“数形互动”.
插入解图 数形互动
阅卷相约
【考题】 （全国甲卷 理20）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线 相切. (Ⅰ)求圆O 的方程；
(Ⅱ)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|
成等比数列，求 的取值范围.
【略解】求得P点的轨迹方程为
x 2 – y 2 = 2 （图右）
又 x 2 + y 2 < 4
于是得 y 2 < 1
（消 x2 ！）
答（– 2，0）.
= x2 + y2 – 4 = 2( y2 – 1)
图形提示 结果直观
阅卷相约
（五）答点中断 怎样评分
如果考生不会解某大题的第1小题，但能利用第1小题的结果直接解出第2小题，有效吗？
有效！只按答点的分配，扣去第1小题的分数，
可能扣分，扣去这个答点的分数；
一个考题有10答点，如果丢了1个答点，如何评分？
也可能不扣分，阅卷人以为这个答点可以略去！
如果在某个答点上卡住了，跳过它行吗？
答：这是智者的行为！
阅卷相约
投机 不等于作假
阅卷怀疑某考生在答点上“跳步”是为了逃出 “止步”，但按评分标准，也把止步后粘贴的答点给了全分。
比如，“求证” 中途“止步”了，某考生将求证的结论反推两步，到止步处进行了强行链接，结果被阅卷人判为满分！
高考是竞争，考场在比赛。赛规一旦确定，运动员只要不犯规，可以“不择手段”地去夺取分数！
打了擦边球，被判为“有效”，让全场喝彩！
这种投机，是智者的行为——不等于弄虚作假！
阅卷相约
答题笑话 使人受益
【考题】 有一道考题是解三角形，初看有点复杂。
【情况】 有这样一位考生，不知是出于无赖，还是有意彰显，
竟有如下的解法：
【大意】 根据正弦定理，余弦定理，如果不够，还有和差化积与积化和差。因此本题可解。
【讨论】开始，阅卷人判了 0 分! 后来，经过了一番争论，
为了区分“ 七窍开了六窍 ” 与 “ 一窍不通 ”，结果给了2分！
【启发】把相关的东西写上去，总比交白卷好！
阅卷相约
【考题】 ( 2卷 理17 题（10分）文18 题（12分）)
在 △ ABC 中，已知内角 A= ，边 BC = 2 . 设内角B = x,
周长为 y . （Ⅱ）求 y 的最大值.
作假 作秀 还是作答
【猜得】y 的最大值为3BC = .
【作秀】 y = AB + BC + CA
= ……
【天机】 省略号的内容可由反推得到！
阅卷相约
猜想解题 时空开阔
猜想是解题时的一种期待，没有期待就没有目标，没有目标就没有行动和胆略。真正的解题是从猜想开始的。猜想解题的理论方向是大可能方向，大概率方向！
何况高考出题有开阔的猜想空间，试题设计讲究“两性结合”：
（1）理论上的“一般性” ，（2）载体上的“特殊性” 。
利用“一般特殊思想” 是“猜想解题”最常见的方法。
在多想少算的命题思想下，待求的数据往往是特殊的。待定的位置也往往是特殊的。
阅卷相约
正常解法 先（1）后（2）
( 全国卷 17 ) 在 ABC中，已知内角A= ，边 BC = 2 ，设内角B = x, 周长为 y . 求函数:
（1）y = f ( x )的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值.
【趣事】 有一考生，没有解出小题（1）却解出了小题（2）。
【说明】常规解题，第一步应求出解析式：
【疑问 】不用解析式，也能求 y 的最大值吗？
第二步是利用定义域求得 y 的最大值为
阅卷相约
f (x) = AB + BC + CA = 2 +
3
cos( )
4
p
-
x
3
直解题（2） 答案巧合
( 全国卷 17 ) 在 ABC中，已知内角A= ，边 BC = 2 ，设内角B = x, 周长为 y . 求函数
（1）y = f ( x )的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值.
【略解】 （2）题目中，角B 和角C的地位是平等的，因此，
y 取最大值的条件，对角B 和角C 是平等的，所以B = C 。
所以，三角形为正三角形，y 的最大值是 BC 的 3 倍.
所以答案为
【思考】这个答案是巧合，还是必然？有没有依据？
阅卷相约
初判错解 后定妙解
【略解】 题目中，角B 和角C的地位是平等的，因此，y 取
最大值的条件，对角B 和角C 是平等的，所以B = C 。
所以，三角形为正三角形，y 的最大值是BC的3倍.
( 全国卷 17 ) 在 ABC中，已知内角A= ，边 BC = 2 ，设内角B = x, 周长为 y . 求函数
（1）y = f ( x )的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值.
【判错】阅卷人初判此解为胡猜，没有依据，而定为0分！
【判妙】讨论意见认为：这是一种妙解 ——对称思想的巧用！
阅卷相约
对称平均 妙解寻根
( 全国卷 17 ) 在 ABC中，已知内角 A= ，边
BC = 2 ，设内角B = x, 周长为 y . 求函数
（1）y = f ( x )的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值.
【略解】 （2）CA +AB =
A
C
BC
A
B
BC
sin
sin
·
sin
sin
·
+
2
cos
3
4
2
cos
2
sin
8
)
sin
(sin
4
C
B
C
B
C
B
C
B
-
=
-
+
=
+
=
【讨论】由此看到，对称思想早已领先：B = C ！
阅卷相约
巧解防险 通解求稳
【略解】 角B 和角C 的地位是平等的，因此，y 取
最大值的条件，对角B 和角C 是平等的，所以B = C 。
【评论】这本是一种很好的解法，只是在中学不做要求。
高考阅卷时，好解、妙解有时被误成错解，从而造成冤案。
建议考生尽量采用通法解题，如果你的妙解不被考官认可，那
你岂不成了“怀才不遇”！
( 全国卷 17 ) 在 ABC中，已知内角 A= ，边 BC = 2 ，设内角B = x, 周长为 y . 求函数
（1）y = f ( x )的解析式和定义域；（2）求 y 的最大值 .
阅卷相约
（六）阅卷日志 同谁分享
压轴题，更有代表性。多数考生在这里“开了窗”，而他不，不仅没有开窗，而且“处处伸手”：
【阅卷人】 这位考生的答题很有意思：6道大题都动了手，都得了分！虽然都不是满分。
他得的这些分似乎都很轻松：属于他的分数，坚决拿到了手；不属于他的分数，他似乎也无缺憾！
他从第17题到第22题，每道大题中的第1小题，都拿到了“属于他的”——该小题的满分．
容易得的分，他都拿了；不容易得的分，他都扔了！
阅卷相约
庞然大物 智勇者上
（Ⅲ）设 .
证明： .
【原题】（第22题）（本小题满分14分）
在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满
足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*.
（Ⅰ）求a2，b2的值；
（Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
【点评人】压轴题，像螃蟹，智勇不全别上来！
阅卷相约
大中见小 （Ⅰ）可口答
【解（Ⅰ）】由题设 ， ，解得 ．
由题设又有 ， ，解得 ．
【阅卷人】 按标准，我给他4分．
【原题】（第22题）（本小题满分14分）
在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满
足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*.
【点评人】螃蟹并非处处硬，那里软乎那里啃！
（Ⅰ）求a2，b2的值；
阅卷相约
能拿这4分者，人数太少．
他是一个没有被压轴题吓倒的考生，此题心算可出结果 ！
能得则得 不能则丢
【解（Ⅱ） 】通项公式分别是： ， ．
【阅卷人】 看这解答，我有受愚弄之感．那个“略”字太刺眼！
【原题】（第22题）（本小题满分14分）
在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满
足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*.
（Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
【点评人 】该出手时就出手，不能出手就开溜！
阅卷相约
证明方法很多（从略）
答题者从略 阅卷人多情
（1）当 时， ，等式成立．
（2）假设 时等式成立，即 ， ．
． ②
由题设， ． ①
①的两边分别减去②的两边，整理得 ，从而
= ……
【阅卷人】 你略得太多了吧! 比如用数学归纳法：
阅卷相约
【阅卷人】 即使到了这里，过程还不到四分之一！
殊途同归 猜想重于证明
有道理，最后我给了他3分。
我越看越生气，给了他一个0分。
更有甚者， 同组阅卷老师很称赞他的结果，理由是“提出一个 猜想比其证明这个结论重要得多”！
【阅卷人】看这“略”字 …………
但一想不行：他还有个结果，八成是偷看的，但是没有证据。
【点评人】考场遭遇结心知，相逢何必曾相识！
【阅卷人】接着，我对这位考生产生了好感。再后来，
阅卷相约
还有的说， 证明过程“写”的很长，但“想”的不多!
至此，他的累计分数达半。
那是高考阅卷之后，我好容易找到了他 ……
有空便钻 唯分是拿
【阅卷人】 没有“受愚之感”，又给了1分．至此，他共得8分。
n=3 时， |T3|< 2×32
【解（Ⅲ）】a1=1，a2=3，a3=6，b1=4，b2=9，b3=16
【原题】（第22题）（本小题满分14分）
在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满
足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*.
（Ⅲ）设 .
证明： .
【点评人】不能啃肉扒根毛，到此总算没白跑！
阅卷相约
好家伙，有空便钻，厉害！
找回略字 出乎意料
【阅卷人】（大惊）你怎么不早说呢？
阅卷相约
【问】你是怎样猜出第 22（Ⅱ）题通项公式；
【答】我不是猜的，我是找的！
【问】（疑惑）你在哪儿找到的？
【答】就在杨辉三角形中！
第3列： a1=1，a2=3，a3=6.
通项公式为
【点评人】相逢何必恨相晚，寻得“略”字不简单！
每下列都是上一列的求和公式！
杨辉数列 蓦然回首
阅卷相约
【问】在杨辉三角中，除了通项公式；
你还看到什么呢？
【答】还看到了它的求和公式。
【问】在哪儿！
【答】在数列拐弯处，如 1+3+6=10
【点评人】众里寻他千百度，考场相遇惊回首！
正好由第 3 列拐到了第 4 列！
的求和公式为
三十年来略多少，至今谁能弄清楚？
奇货可居 垃圾寻宝
评分的目标要得到区分度.
当题目很容易、满分很多的时候，阅卷人有的是拿着显微镜在美玉答案中找瑕点；
当题目较难，白卷很多的时候，阅卷人有的是拿着放大镜在垃圾答案中寻找宝贝！
当你对某道题目要交白卷的时候，请你把相关的东西多写点上去，说不定遇上奇货可居！
阅卷相约
考史可查 评分有鉴
【考题】 叙述并证明勾股定理（满分6分）
【说明】 题目如此简单，命题人给出的评分标准相当严格. 可惜的是，当年的考生几乎没有人按标准答案去做.
【标答】 在直角三角形中，两条直角边长的平方和，等于斜边长的平方.
若记两条直角边长分别为a =BC，b =AC，斜边长为c = AB，勾股定理可用公式表示为
c2 = a2 + b2 （2分）
阅卷相约
【说明】 这个证明，对当年的考生，是个没有学过的内容.
两式相加 AC2 + BC2 = AD AB + BD AB = AB2
即是 c2 = a2 + b2 （6分）
除了举手投降交白卷外，再就是八仙过海，各显神通！
【证明】 在Rt △ ABC 中，作斜边上的高线 CD⊥ AB. 因为（略）
所以 Rt△ ADC ∽ Rt△ ACB (4分)
所以 AC2 =AD AB
同理 BC2 = BD AB
标准答案 自作多情
阅卷相约
【评说】 这是中华祖先们天才的创举，后生们还能继承下来，实在难得.
你这阅卷人能不给分吗？
【法2】 在直三角形中，都有
32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
【评说】 这是阿波罗飞船上天时，去联络外星人的信号。连外星人都能接受的信号，你这阅卷人还能不懂吗？
【法1】 证明见右图：两小正方形面积之和等于大正方形的面积.
八仙过海 各有精彩
阅卷相约
【法3】 在余弦定理中有 c 2 =a2 + b2 - 2ab cos C
当∠C =90°时，便得 c2 = a2 + b2
【评说】 什么“循环论证”？既然勾股定理能证余弦定理，那么余弦定理不也同样可以证明勾股定理吗！
【说明】 既然命题人的“标准答案”已被考生们所抛弃，对这些有“创意”的证法，你总不能“罚不当众”吧？
阅卷只好重拟“评分标准”. 以上诸解，后来都给了一定的分数. 有一阅卷人说，凡答案写到 3行以上者，我都给了3分.
勾股余弦 互相证明
阅卷相约
阅卷人相约
阅卷捎回一篮金
献给来年应考人
答题要讨阅卷好
考官高兴我高分
遭遇有缘成奇遇
估分失算有原因