(共20张PPT)
3.1.1 不等关系与不等式
在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，我们来看下面的例子。
国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的高低。
它的计算公式是 。
有关机构还制定了各种类型的家庭应达到的恩格尔系数的取值范围：
家庭类型 贫穷 温饱 小康 富裕 最富裕
n n>60% 50%
例．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
3、a是一个非负实数。
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
v≤40
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡 30元 0.40元
求这个人月通话时间的取值范围。
即：30+0.4x≤150. 解得x≤300.
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
设698mm与518mm分别x与y个
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
分析:设分别生产甲．乙两种肥料为x吨,y吨
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：
（1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧；
（3）点A在点B的左侧。
在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：
对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a如果a－b是正数，则a>b；如果a>b，则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零。
通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为 ，读作“p推出q”.
如果 都是正确的命题，记为
读作“p等价于q或q等价于p”。
上述结论可以写成：
例1．比较x2－x与x－2的大小。
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。
解：(px+qy)2－(px2+qy2)
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.
因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，
因此(px+qy)2－(px2+qy2)
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
因为p，q为正数，因此(px+qy)22. 比较
与
的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
=(x－1)(x2+1),
∵ x2+1>0，
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1；
当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x33.1.1《不等关系与不等式》
教学目标
1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.
2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。
二、教学重、难点
重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。
在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，我们来看下面的例子。
国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的高低。
它的计算公式是 。
有关机构还制定了各种类型的家庭应达到的恩格尔系数的取值范围：
家庭类型 贫穷 温饱 小康 富裕 最富裕
n n>60% 50%例．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
3、a是一个非负实数。
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
v≤40
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
某人为自己制定的月支出计划中，规定手机费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：
月租费 每分钟通话费
中国电信卡 30元 0.40元
求这个人月通话时间的取值范围。
即：30+0.4x≤150. 解得x≤300.
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
设698mm与518mm分别x与y个
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
分析:设分别生产甲．乙两种肥料为x吨,y吨
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：
（1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧；
（3）点A在点B的左侧。
在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：
对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a如果a－b是正数，则a>b；如果a>b，则a－b为正数；
如果a－b是负数，则a如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零。
通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为 ，读作“p推出q”.
如果 都是正确的命题，记为
读作“p等价于q或q等价于p”。
上述结论可以写成：
例1．比较x2－x与x－2的大小。
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
例2．当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。
解：(px+qy)2－(px2+qy2)
=p(p－1)x2+q(q－1)y2+2pqxy.
因为p+q=1，所以p－1=－q，q－1=－p，
因此(px+qy)2－(px2+qy2)
=－pq(x2+y2－2xy)=－pq(x－y)2，
因为p，q为正数，因此(px+qy)22. 比较
与
的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
=(x－1)(x2+1),
∵ x2+1>0，
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1；
当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3（一）教学目标
1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点
重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想
[创设问题情境]
问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
[练习]：第82页，第1、2题。
[知识拓展]
设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？
从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
证明：
例1讲解（第82页）
[练习]：第82页，第3题。
[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：
[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；
2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
[作业]：习题3.1（第83页）：（A组）4、5；（B组）2.
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来源：高考资源网3.1不等关系与不等式 同步测试
【基础练习】
1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为 。
2．限速40km∕h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km∕h，写成不等式就是 。
3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t。生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式。
【巩固练习】
某次数学测验，共有１６道题，答对一题得６分，答错一题倒扣２分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在６０分以上？列出其中的不等关系。
2．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放４只，则有一鸡无笼可放：若每个笼里放５只，则有一笼无鸡可放。设现有笼x个，试列出x满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼？至多有多少只鸡多少个笼？
3．某车间有２０名工人，每人每天可加工甲种零件５件或乙种零件４件。在这２０名工人中，派ｘ人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利１６元，每加工一个乙种零件可获利２４元，若要使车间每天获利不低于１８００元，写出x所要满足的不等关系．
4．某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，该车每年的旅游效益为50万元，设第n年开始获利，列出关于n的不等关系．
5．某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360元，据此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．
6．某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时受费1.5元；公司B的收费规则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）如图所示.
假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？请写出其中的不等关系．
3.1不等关系参考答案
【基础练习】
3x≥300－60 2.v≤40 3.设生产甲乙两种混合肥料各x,yt则
【巩固练习】
设至少答对x题，则16x－2(15－x)≥60
，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡。
16×5×（20－x）+24×4x≥1800
98+12+（12+4）+（12+4×2）+…+[12+（n－1）×4]＜50n
设租用大卡车x辆，农用车y辆
6.设一次上网时间为xh，选择A公司，费用1.5x(元)；选择B公司，x<17时费用为元， x≥17时为15.3元，所以＞1.5x （0版权所有：高考资源网(www.k s 5 u.com)
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一、新课引入
现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如：
1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；
2、三角形ABC的两边之和大于第三边；
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
v≤40
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B.f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
C.
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
想一想,你还能举出哪些相似的例子
二、用不等式来解决生活中的不等关系问题：
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
因此，销售总收入为：
用不等式表示为：
变式：
如果设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*)，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？你能计算出n在哪个范围内变化吗
分析：销售量减少了0.2n万本，单价为
(2.5+0.1n)元，则可得到销售的总以收入为不低于20万元的不等式可表示为：
(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(3)截得两种钢管的数量都不能为负。
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍；
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
x,y∈N
练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？
分析:
设698mm与518mm分别x与y个
练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。
分析:设分别生产甲．乙两种肥料为x吨,y吨
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？
分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，则：
练习4、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。请用不等式或不等式组表示些实例中的不等关系。
三、课后小结
本节课我们巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等关系的实际问题。
用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范。