2.1 认识分式 课件（共42张PPT）

第二章 分式与分式方程
1 认识分式
知识点一 分式的概念
分式满足的条件：
（1）形如????????的式子；
（2）A，B都是整式；
（3）分母B中含有字母，三者缺一不可.
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知识点一 分式的概念
分式满足的条件：
（1）形如????????的式子；
（2）A，B都是整式；
（3）分母B中含有字母，三者缺一不可.
特别提醒
判断式子是不是分式要看原始形式，而不是看化简后的结果，如????????????是分式，而不是整式.
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例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
????????，????????，????????+?????????????，?????????，?????????????，?????????.
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例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
????????，????????，????????+?????????????，?????????，?????????????，?????????.
分析 分式和整式的区别是看分母中是否含有字母.
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例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
????????，????????，????????+?????????????，?????????，?????????????，?????????.
分析 分式和整式的区别是看分母中是否含有字母.
解析 整式: ????????，?????????????，???????? .
分式: ????????，????????+?????????????，????????? .
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例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
????????，????????，????????+?????????????，?????????，?????????????，?????????.
分析 分式和整式的区别是看分母中是否含有字母.
解析 整式: ????????，?????????????，???????? .
分式: ????????，????????+?????????????，????????? .
点拨 （1）区分整式与分式的关键是看分母，分母中含有字母的是分式，不含字母的是整式；（2）π是一个常数，所以是整式而不是分式.
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知识点二 分式有意义、无意义
分类
条件
举例说明
分式????????有意义
分母不为零，即B≠0
1?????2有意义，是指x-2≠0
分式????????无意义
分母等于零，即B＝0
1?????2无意义，是指x-2＝0
分类
条件
举例说明
分母不为零，即B≠0
分母等于零，即B＝0
知识点二 分式有意义、无意义
例2 若代数式????+?????????????有意义，则实数x的取值范围是_________.
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知识点二 分式有意义、无意义
例2 若代数式????+?????????????有意义，则实数x的取值范围是_________.
解析 因为代数式????+?????????????有意义，所以x-7≠0，所以x≠7.
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知识点二 分式有意义、无意义
例2 若代数式????+?????????????有意义，则实数x的取值范围是_________.
解析 因为代数式????+?????????????有意义，所以x-7≠0，所以x≠7.
答案 x≠7
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知识点二 分式有意义、无意义
例2 若代数式????+?????????????有意义，则实数x的取值范围是_________.
解析 因为代数式????+?????????????有意义，所以x-7≠0，所以x≠7.
答案 x≠7
点拨 分式有、无意义只与分母有关，与分子没有关系.
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知识点三 分式值为零的条件
分式值为零的条件:
当分式的分子等于零，且分母不等于零时，分式的值为零
知识点三 分式值为零的条件
分式值为零的条件:
当分式的分子等于零，且分母不等于零时，分式的值为零
温馨提示:
分式的值是在分式有意义的前提下考虑的，所以使分式?????????＝0的条件是A＝0且B≠0，两者缺一不可.
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例3 对于分式?????????????????+????，当x＝_______时，分式的值为零.
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例3 对于分式?????????????????+????，当x＝_______时，分式的值为零.
解析 由题意得?????????=????????????+????≠?????，解得x＝3.
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例3 对于分式?????????????????+????，当x＝_______时，分式的值为零.
解析 由题意得?????????=????????????+????≠?????，解得x＝3.
答案 3
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例3 对于分式?????????????????+????，当x＝_______时，分式的值为零.
解析 由题意得?????????=????????????+????≠?????，解得x＝3.
答案 3
点拨 解决此类问题的步骤:
（1）求出使分子为零的字母的值；
（2）检验这个字母的值是否使分母的值为零；
（3）使分母不为零的值就是所要求的字母的值.
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知识点四 分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变
字母表示 ????????=????×????????×????，????????=????÷????????÷????（M是不等于零的整式）
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知识点四 分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变
字母表示 ????????=????×????????×????，????????=????÷????????÷????（M是不等于零的整式）
2.分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变
字母表示 ????????=??????????=??????????=??????????
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例4 写出下列等式中未知的分子或分母.
（1）?????????????????=(??????????)???????????????????????； （2）????????????????????(????+????)=????(????????????????)
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例4 写出下列等式中未知的分子或分母.
（1）?????????????????=(??????????)???????????????????????； （2）????????????????????(????+????)=????(????????????????)
解析 （1）观察分母，等号左边分式的分母是x-2y，等号右边分式的分母是x2-4y2，显然，x2-4y2是由（x-2y）乘（x＋2y）得到的，由分式的基本性质知，等号左边分式的分子也要乘（x＋2y），变为（x＋2y）.
（2）观察分子，等号左边分式的分子是a2b，等号右边分式的分子是a，显然是约去了因式ab，由分式的基本性质知，等式左边的分母也应约去因式ab，变为（a＋b）.
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答案 （1）x＋2y （2）a＋b
答案 （1）x＋2y （2）a＋b
方法归纳
解有关分式恒等变形的填空题，一般地，先从分子或分母的已知项入手，观察变化方式，再把未知项进行相应的变形.
知识点五 分式的约分和最简分式
约分：
找公因式的方法：
最简分式：
知识点五 分式的约分和最简分式
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即????·????????·????=????????.
找公因式的方法：
最简分式：
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知识点五 分式的约分和最简分式
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即????·????????·????=????????.
找公因式的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母中的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式.
最简分式：
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知识点五 分式的约分和最简分式
约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即????·????????·????=????????.
找公因式的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母中的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.
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经典例题
题型一 分式的基本性质的应用
例1 不改变分式的值，将下列分式的分子与分母中的各项系数化为整数.
（1）????.?????????????????.????????????.?????????????????.????????；（2）????????+????????????????????????????????? .
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题型一 分式的基本性质的应用
例1 不改变分式的值，将下列分式的分子与分母中的各项系数化为整数.
（1）????.?????????????????.????????????.?????????????????.????????；（2）????????+????????????????????????????????? .
分析 （1）分子与分母同时乘100；（2）分子与分母同时乘30.
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题型一 分式的基本性质的应用
例1 不改变分式的值，将下列分式的分子与分母中的各项系数化为整数.
（1）????.?????????????????.????????????.?????????????????.????????；（2）????????+????????????????????????????????? .
分析 （1）分子与分母同时乘100；（2）分子与分母同时乘30.
解析 （1）????.?????????????????.????????????.?????????????????.????????=(????.?????????????????.????????)×????????????(????.?????????????????.????????)×????????????=???????????????????????????????????????????.
（2） ????????+?????????????????????????????????=????????+????????×?????????????????????????????????×????????=????????????+??????????????????????????????????????.
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题型一 分式的基本性质的应用
例1 不改变分式的值，将下列分式的分子与分母中的各项系数化为整数.
（1）????.?????????????????.????????????.?????????????????.????????；（2）????????+????????????????????????????????? .
分析 （1）分子与分母同时乘100；（2）分子与分母同时乘30.
解析 （1）????.?????????????????.????????????.?????????????????.????????=(????.?????????????????.????????)×????????????(????.?????????????????.????????)×????????????=???????????????????????????????????????????.
（2） ????????+?????????????????????????????????=????????+????????×?????????????????????????????????×????????=????????????+??????????????????????????????????????.
点拨 解决此类问题的关键是确定分子、分母所乘的公倍数，只需将分式的分子、分母同时乘公倍数，就可以将分式的分子与分母中各项的系数化为整数，且使这个分式的值不变.
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题型二 分式的化简求值
例2 先化简，再求分式??????????????????????????????????的值，其中a＝-3，b＝2.
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题型二 分式的化简求值
例2 先化简，再求分式??????????????????????????????????的值，其中a＝-3，b＝2.
分析 先把分子、分母分解因式，约分化简，再代入求值.
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题型二 分式的化简求值
例2 先化简，再求分式??????????????????????????????????的值，其中a＝-3，b＝2.
分析 先把分子、分母分解因式，约分化简，再代入求值.
解析 ??????????????????????????????????=????(?????????)(?????????)(????+????)=?????????+?????.
当a＝-3，b＝2时，原式=???????????+????=??????.
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题型二 分式的化简求值
例2 先化简，再求分式??????????????????????????????????的值，其中a＝-3，b＝2.
分析 先把分子、分母分解因式，约分化简，再代入求值.
解析 ??????????????????????????????????=????(?????????)(?????????)(????+????)=?????????+?????.
当a＝-3，b＝2时，原式=???????????+????=??????.
点拨 化简求值题一定要先把分式化成最简分式或整式，再代入求值.
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易错易混
易错点 忽视分式有意义时需满足的条件
例 当x为何值时，????(?????????)?????????????的值等于零？
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易错点 忽视分式有意义时需满足的条件
例 当x为何值时，????(?????????)?????????????的值等于零？
分析 根据分式值为零满足的条件“分子等于零且分母不等于零”，列出方程和不等式求解.
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易错点 忽视分式有意义时需满足的条件
例 当x为何值时，????(?????????)?????????????的值等于零？
分析 根据分式值为零满足的条件“分子等于零且分母不等于零”，列出方程和不等式求解.
解析 根据题意得????????+????=?????????????????≠????，所以x＝0.
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易错点 忽视分式有意义时需满足的条件
例 当x为何值时，????(?????????)?????????????的值等于零？
分析 根据分式值为零满足的条件“分子等于零且分母不等于零”，列出方程和不等式求解.
解析 根据题意得????????+????=?????????????????≠????，所以x＝0.
易错警示 分式的值为零必须同时满足两个条件:分子等于零且分母不等于零分式的分母不为零时，分式才有意义，在解题过程中不能忽略“分母不等于零”这一条件.