18.1 勾股定理 课件
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(共23张PPT)
这就是本届大会会徽的图案．
你见过这个图案吗？
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
第十八章勾股定理
b
a
c
a2+b2=c2
18.1勾股定理(1)
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，
相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上
，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，而毕达哥拉斯却看
着朋友家的方砖地面发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块
直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人
看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥
拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．
同学们，我们也来观察右图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢？
原来他发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某中数量关系。
探究一
数学家毕达哥拉斯的故事
数学家毕达哥拉斯的故事
A、B、C的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
SA+SB=SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究一
A
B
C
图1—1
A
B
C
（1）观察图1—1：
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积；
4
4
4
4
8
8
A的面积+ B的面积= C的面积
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
对于等腰直角三角形有这样的性质：
对于任意直角三角形都有这样的性质吗？
两直边的平方和等于斜边的平方
看下图
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图2
图3
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
图2
图3
4
9
13
9
25
34
sA+sB=sC
两直角边的平方和
等于斜边的平方
A
B
C
探究二：
b
a
c
a2+b2=c2
正方形A中含有 个方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积 个单位面积；
9
9
16
16
25
25
B
A
C
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
a
b
c
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
猜想:
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么:
看左边的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）．
依据科学理论的证实：一
左图的面积为 右图的面积为
a2+b2 c2
可知 a2+b2=C2
试一试
c
b a
c2 = (a b)2 + 4( ab)
= a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b2
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
依据科学理论的证实：二
(a + b)(b + a) = c2 + 2( ab)
a2 + ab + b2 = c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
∟
∟
∟
b
a
(a + b)2 = c2 + 4( ab)
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
c
依据科学理论的证实：三
目前，世界上共有500多种证明“勾股定理”的方法。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.所以命题1叫勾股定理.
经过证明被确认正确的命题叫定理.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
股
勾
弦
两千多年前，古希腊有个哥拉
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此
在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955
勾 股 世 界
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
应用知识回归生活
4米
3米
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探
索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想。
３、学了本节课后我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育。
作业：
１、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。
２、通过查阅资料，收集勾股定理的证明方法。
感谢各位老师 光临指导!
这就是本届大会会徽的图案．
你见过这个图案吗？
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
第十八章勾股定理
b
a
c
a2+b2=c2
18.1勾股定理(1)
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，
相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上
，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，而毕达哥拉斯却看
着朋友家的方砖地面发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块
直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人
看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥
拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．
同学们，我们也来观察右图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢？
原来他发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某中数量关系。
探究一
数学家毕达哥拉斯的故事
数学家毕达哥拉斯的故事
A、B、C的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
SA+SB=SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究一
A
B
C
图1—1
A
B
C
（1）观察图1—1：
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积是 个单位面积；
4
4
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4
8
8
A的面积+ B的面积= C的面积
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
对于等腰直角三角形有这样的性质：
对于任意直角三角形都有这样的性质吗？
两直边的平方和等于斜边的平方
看下图
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图2
图3
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
图2
图3
4
9
13
9
25
34
sA+sB=sC
两直角边的平方和
等于斜边的平方
A
B
C
探究二：
b
a
c
a2+b2=c2
正方形A中含有 个方格，即A的面积是 个单位面积；
正方形B中含有 个小方格，即B的面积是 个单位面积；
正方形C中含有 个小方格，即C的面积 个单位面积；
9
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25
B
A
C
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
a
b
c
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
猜想:
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么:
看左边的图案，这个图案是公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）．
依据科学理论的证实：一
左图的面积为 右图的面积为
a2+b2 c2
可知 a2+b2=C2
试一试
c
b a
c2 = (a b)2 + 4( ab)
= a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b2
赵爽弦图
“赵爽弦图”表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
依据科学理论的证实：二
(a + b)(b + a) = c2 + 2( ab)
a2 + ab + b2 = c2 + ab
a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
∟
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b
a
(a + b)2 = c2 + 4( ab)
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
c
依据科学理论的证实：三
目前，世界上共有500多种证明“勾股定理”的方法。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.所以命题1叫勾股定理.
经过证明被确认正确的命题叫定理.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
股
勾
弦
两千多年前，古希腊有个哥拉
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此
在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955
勾 股 世 界
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
应用知识回归生活
4米
3米
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探
索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。
２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还
知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、
验证数学结论的数形结合思想。
３、学了本节课后我们有什么感想？
很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学
的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化
辉煌历史的教育。
作业：
１、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。
２、通过查阅资料，收集勾股定理的证明方法。
感谢各位老师 光临指导!