[举一反三]人教新课标版高中选修3-4 11.4单摆

[举一反三]人教新课标版高中选修3-4 11.4单摆
对单摆周期的理解
1．决定周期大小的因素
(1)摆长L.
(2)当地的重力加速度g.
(3)与摆球质量无关，在摆角小于5°的前提下，与振幅无关．
2．摆长L
(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即L＝＋，为摆线长，d为摆球直径．
(2)等效摆长：图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长．其周期T＝2π.图中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
3．重力加速度g
(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．
(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．
例如图：此场景中的等效重力加速度g′＝gsinθ.球静止在O时，FT＝mgsinθ，等效加速度g′＝＝gsinθ.
101小贴士：(1)摆长L并不等于绳长，而是等于摆球球心(质量均匀)到摆动圆弧的圆心的距离．
(2)公式中的g不一定等于9.8 m/s2，尤其是单摆在复合场中或斜面上摆动时，g值往往因情境而异．
典型例题：
有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？
思路点拨：
解析：(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2π，由此可知g＝，只要求出T值代入即可．
因为T＝＝ s≈2.027 s，
所以g＝＝m/s2≈9.79 m/s2.
(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：＝，
故有：l0＝＝ m≈0.993 m.
其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m.
答案：(1)9.79 m/s2　(2)缩短　0.027 m
规律方法：单摆周期公式T＝2π是在单摆做简谐运动的条件下才适用的，改变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地，周期也不相同．
变式应用1：如图所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为(　　)
A．2π　　　　　　　　B．2π
C．π＋ D ．2π
解析：碰钉子前摆长为l，故周期T1＝2π，碰钉子后摆长变为l′，则周期T2＝2，所以该组合摆的周期T＝＋＝π＋
答案：C
规律方法：周期是做一次完整的全振动所用的时间，做此类题目首先要分析出一次完整的全振动的物理过程，然后对各个阶段由单摆周期公式求对应时间。
变式应用2：如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R 弧长.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点静止释放，问两球第1次到达C点的时间之比．
甲球做自由落体运动
R＝gt，所以t1＝ .
乙球沿圆弧做简谐运动(由于 R，可认为摆角θ<5°)，此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故等效摆长为R，因此第1次到达C处的时间为t2＝T＝＝，所以t1∶t2＝2∶π.
答案：2 ∶π
方法总结：当满足条件：(1)圆弧运动；(2)小角度摆动．此时我们把它叫做单摆模型，处理方式仍然和处理单摆运动处理方式相同。
变式训练2　如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长10 cm.现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别是t1和t2，那么(　　)
A．v1＜v2，t1＜t2
B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2
D．上述三种都有可能
解析：因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度的单摆振动，即做简谐运动，其等效摆长为2 m，单摆周期与振幅无关，因此t1＝t2，又由于小球运动过程中机械能守恒，有mgh＝mv2，解得v＝知，v1＞v2.
答案：B
解答技巧：这是一个单摆模型的问题，同时结合了机械能守恒定律，通过对问题的分析归纳出物理模型是做此类题目的关键。