5.7三角函数的应用
一、单选题
1．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（
）
A．5A
B．2.5A
C．2A
D．－5A
2．弹簧振子的振幅为，在内振子通过的路程是，由此可知该振子振动的（
）
A．频率为1.5Hz
B．周期为1.5s
C．周期为6s
D．频率为6Hz
3．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：
时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知是实数，则函数的图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，半圆的直径为，为直径的延长线上一点，且，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.当时，等于（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
8．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度（单位：）在某天24小时内的变化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为________．
三、解答题
9．如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
（1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17
m.
10．求解下列问题：
（1）方程在上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和.
（2）设函数，若当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，至少存在一个和一个，使，求k的最小值.
试卷第1页，总3页5.7三角函数的应用
一、单选题
1．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（
）
A．5A
B．2.5A
C．2A
D．－5A
【答案】B
【点拨】由已知直接把代入，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出.
【解析】
解：当时，.
故选：.
2．弹簧振子的振幅为，在内振子通过的路程是，由此可知该振子振动的（
）
A．频率为1.5Hz
B．周期为1.5s
C．周期为6s
D．频率为6Hz
【答案】B
【点拨】根据周期、频率、振幅定义，先确定出周期，再求出其频率.
【解析】
解：振幅为，振子在一个周期内通过的路程为，易知在内振动了4个周期，所以，频率.
故选：.
3．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【点拨】由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．
【解析】
解：依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：A．
4．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：
时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【点拨】把代入所给表达式，结合已知数据及周期可确定.
【解析】
在给定的四个选项中，我们不妨代入及，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.
5．已知是实数，则函数的图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【点拨】
由题知，．若，，选项C满足；若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；若,则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故本题正确答案为D．
6．如图，半圆的直径为，为直径的延长线上一点，且，为半圆上任意一点，以为边作等边三角形.当时，等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【点拨】四边形面积分为两个三角形计算，其中，利用余弦定理求AB，得正三角形ABC的面积，可得结果.
【解析】
如图.
过点作于，则，即.
.
，
.
.
.
二、填空题
7．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
【答案】f(x)＝2sinx＋7
【点拨】【解析】
作出函数简图如图：三角函数模型为月份达到最高价元，月份价格最低元，，解得，周期，故，又时，，，可得，故，故答案为.
8．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度（单位：）在某天24小时内的变化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为________．
【答案】
【点拨】由图设，由图象可知，，再求出，将代入函数的解析式得，即得解.
【解析】
由图设．
由图象可知，，所以，
所以
将代入函数的解析式得，
所以
所以．
所以函数关系式为．
故答案为：
三、解答题
9．如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
（1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17
m.
【答案】（1）h＝10sint＋12(t≥0)；（2）100s.
【点拨】（1）求出t
s时，所转过的角度，然后由正弦函数性质可得；
（2）由（1）的解析式，解不等式即得．
【解析】
解：（1）设在t
s时，摩天轮上某人在高h
m处．这时此人所转过的角为
t＝
t，故在t
s时，此人相对于地面的高度为h＝10t＋12(t≥0)．
（2）由10sint＋12≥17，得sint≥，
则25≤t≤125，125－25＝100．
故此人有100
s相对于地面的高度不小于17m.
10．求解下列问题：
（1）方程在上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和.
（2）设函数，若当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，至少存在一个和一个，使，求k的最小值.
【答案】（1），；（2）32.
【点拨】（1）作出函数的图象，然后根据交点个数判断结果.
（2）根据题意可知函数的周期，然后利用进行计算即可.
【解析】
（1）作出的图象如图，
由图象可知，
要使在区间上有两个不同的交点，
应满足，即.
设方程两实根分别为，则由图象可知与关于对称，
于是，所以.
（2）设的周期为T，则.
根据题意，得，，即.
，的最小值为32.
试卷第1页，总3页
