人教版A版高中数学必修二4.3.2空间两点间的距离公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点、，点关于轴对称的点为，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．在空间直角坐标系中，点到原点的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在空间直角坐标系中，点与之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，点在轴上，且到，两点的距离相等，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
6．若空间直角坐标系中，x轴上一点P到点Q（3，1，1）的距离为，则点P的坐标为（
）
A．（3，0，0）
B．（2，0，0）
C．（4，0，0）
D．（2，0，0）或（4，0，0）
7．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则等于(
)．
A．8
B．12
C．16
D．19
8．已知空间点,则的最小值是(
)
A．
B．
C．
D．
9．长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小时，（
）
A．1
B．2
C．
D．4
10．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是（
）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
二、填空题
11．在空间直角坐标系中，已知点与点，则_____，若在z轴上有一点M满足|MA|=|MB|，则点M坐标为_____．
12．如图，平行六面体中，,,则__________．
13．已知空间三个点为A1（﹣2，1，4），A2（3，2，﹣6），A3（5，0，2），则在△A1A2A3中A2A3边上的中线长为_____．
14．如图，已知棱长为4的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度为_________
15．在图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，若，则MN长度的最小值是__________．
三、解答题
16．已知长方体中,
，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
17．如图所示，BC=4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．求AD的长度．
18．已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求的面积；
（2）求中边上的高．
19．如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
20．如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.
（1）求证：；
（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二4.3.2空间两点间的距离公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点、，点关于轴对称的点为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称性求出点的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得的值.
【详解】
由于点关于轴对称的点为，则点，
由空间中两点间的距离公式得.
故选：B.
【点睛】
本题考查空间中两点间距离的计算，同时也考查了利用对称性求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
2．在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间两点之间的距离公式:
,将，两点代入,即可求得,两点间的距离.
【详解】
，
==
故选:C.
【点睛】
本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键.
3．在空间直角坐标系中，点到原点的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中两点间的距离公式求解.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题主要考查了空间中两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．在空间直角坐标系中，点与之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
可结合两点间距离公式求解
【详解】
由两点间距离公式得
故选：B
【点睛】
本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题
5．已知，，点在轴上，且到，两点的距离相等，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
点，利用空间直角坐标系上两点间距离公式，建立方程，即可求出点坐标
【详解】
解：设点，
，，点到、两点的距离相等，
点坐标为，
故选：．
【点睛】
本题考查空间两点间的距离，正确运用空间两点间的距离公式是解题的关键，属于基础题．
6．若空间直角坐标系中，x轴上一点P到点Q（3，1，1）的距离为，则点P的坐标为（
）
A．（3，0，0）
B．（2，0，0）
C．（4，0，0）
D．（2，0，0）或（4，0，0）
【答案】D
【解析】
【分析】
设，0，，由空间直角坐标系中，点到点，1，的距离为，利用两点间距离公式能求出点的坐标．
【详解】
解：设，0，，
到点，1，的距离为，
，
解得或．
点的坐标为，0，或，0，．
故选：．
【点睛】
本题考查空间中点的坐标的求法，属于空间直角坐标系、两点间距离公式等基础知识，还考查运算求解能力．
7．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则等于(
)．
A．8
B．12
C．16
D．19
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
由题可知
∴
故选A
8．已知空间点,则的最小值是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，，时，的最小值为，，故选C.
9．长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小时，（
）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，建立空间直角坐标系，赋予点坐标，求出以及夹角，建立面积关于的函数，从而求函数的最值即可.
【详解】
根据题意，以为坐标原点，以所在直线为轴
建立空间直角坐标系如下图所示：
设，
故可得
由空间中两点之间的距离公式可得：
，
，
，
故在三角形中，由余弦定理可得：
则
故
当且仅当时，的面积最小.
故满足题意时，.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用空间直角坐标系，求解动点问题，属经典题型.
10．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：
①线段长度的取值范围是；
②存在点使得平面；
③存在点使得.
其中，所有正确结论的序号是（
）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】D
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
【详解】
取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.
在正方体中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可证，，则，.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.
对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；
对于命题②，，则平面的一个法向量为，
，令，解得，
所以，存在点使得平面，命题②正确；
对于命题③，，令，
整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
11．在空间直角坐标系中，已知点与点，则_____，若在z轴上有一点M满足|MA|=|MB|，则点M坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用空间两点间的距离公式直接求得的值，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，由此利用两点间距离公式能求出M的坐标．
【详解】
∵点点，
∴
在空间直角坐标系中，
z轴上有一个点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，
设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，
即=，
解得a=﹣3，
∴M（0，0，﹣3）．
故答案为，（0，0，﹣3）．
【点睛】
本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．如图，平行六面体中，,,则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
用基底表示出，然后利用向量数量积的运算，求得.
【详解】
因为，
所以
，
所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.
13．已知空间三个点为A1（﹣2，1，4），A2（3，2，﹣6），A3（5，0，2），则在△A1A2A3中A2A3边上的中线长为_____．
【答案】6．
【解析】
【分析】
由中点坐标公式求出A2A3的中点坐标，由空间两点距离公式可得A2A3边上的中线长.
【详解】
解：设A2A3的中点为D点，
由空间两点的中点坐标公式可得,
由空间两点距离公式可得A2A3边上的中线长：,
故答案为：
【点睛】
本题主要考查空间两点的中点坐标公式及空间两点的距离公式，属于基础题型.
14．如图，已知棱长为4的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点，满足，则点的轨迹长度为_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，根据是内（包括边界）的动点，可得点的轨迹是两平面的交线，其中分别为轨迹与的交点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出坐标，即可求解.
【详解】
满足的点的轨迹是过的中点，
且与垂直的平面，
是内（包括边界）的动点，
点的轨迹是两平面的交线，
其中分别为轨迹与的交点，以为坐标原点，
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
由得，解得，
由得，解得，
，
所以点的轨迹长度为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了正方体结构特征、垂直平分线的性质、空间直角坐标系的应用，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.
15．在图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，若，则MN长度的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用面面垂直和线面垂直的性质定理证明，建立空间直角坐标系，写出坐标，利用空间中两点的距离公式结合二次函数的性质得出最小值.
【详解】
平面ABCD平面ABEF
平面ABCD，平面ABCD与平面ABEF相交于，
平面ABEF
平面ABEF，
则以为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系
则时，取最小值
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了空间中两点间距离公式的应用，关键是采用坐标法进行求解，属于中档题.
三、解答题
16．已知长方体中,
，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1），，；（2）线段的长度分别为；
（3）不垂直，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点的坐标．
（2）直接利用两点间距离公式公式求解．
（3）求出，，计算数量积即可判断是否垂直.
【详解】
解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：
，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，
，；
（2）由两点距离公式得：
，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，
，
与不垂直，
所以直线与直线不垂直.
【点睛】
本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
17．如图所示，BC=4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．求AD的长度．
【答案】
【解析】
【分析】
解Rt△BDC，可得点D的坐标，进而利用两点间的距离公式求解即可.
【详解】
由题意得B（0，?2，0），C（0，2，0），
设D（0，），则在Rt△BDC中，∠DCB=30°，
∴BD=2，CD=2．
∴D（0，?1，）．
又∵A（0），
∴|AD|=．
【点睛】
本题主要考查了空间点坐标的运算及空间中两点间距离公式的求解，属于基础题.
18．已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）求的面积；
（2）求中边上的高．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据空间中三个点的坐标,可求得与,进而可得和.由向量数量积的定义即可求得.根据同角三角函数关系求得,再根据三角形面积公式即可求解.
（2）根据三角形面积公式,即可求得边上的高.
【详解】
（1）由已知得,
∴,
.
∴
（2）设边上的高为
则.
【点睛】
本题考查了空间中两点间距离公式的用法,空间向量数量积的应用及三角形面积公式的用法,属于基础题.
19．如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证面，再根据线面垂直的性质可得；
(2)
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，设点坐标为（），再根据两个平面的法向量可求得答案.
【详解】
（1）由题可得面，∴，又四边形为矩形，
∴，又，∴面，∴.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
设点坐标为（），由，，
得，
解得，，即点坐标为，
设面，所以，
∴，令，得，
又面，，所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的性质与判定定理，考查了空间两点间的距离公式，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题.
20．如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.
（1）求证：；
（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标表示，再根据向量垂直坐标表示证结果，（2）先根据面面平行得，再根据向量平行坐标表示确定点坐标，最后根据向量模的公式求的长.
【详解】
（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，
所以，，因为，
所以，所以；
（2）设，因为平面平面，
平面平面，平面平面，所以，
所以存在实数，使得，
因为，，所以，
所以，，所以，
故当时，、、、四点共面.
【点睛】
本题考查利用空间向量证线线垂直、利用空间向量求点坐标以及面面平行性质定理，考查基本分析论证与求解能力，属基础题.
试卷第1页，总3页
