人教版A版高中数学必修五1.1.1正弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(
)
A．2
B．8
C．
D．
2．中，若，则错误！未找到引用源。的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
3．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，若，则等于（
）
A．1
B．
C．
D．
5．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是
（
）
A．,有两解
B．,有一解
C．,无解
D．,有一解
6．设在中,角所对的边分别为,
若,
则的形状为
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
7．ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin
AsinB+bcos2A=
，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．在△ABC中，若，则cos
B＝( )
A．
B．
C．
D．
9．在△ABC中，角的对边分别是，若，，则(
)
A．
B．
C．
D．
10．设分别是错误！未找到引用源。中所对边的边长，则直线与位置关系是（
）
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直
二、填空题
11．在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.
12．已知错误！未找到引用源。中，，，，则的面积为______.
13．在错误！未找到引用源。中，角所对的边分别为，若，，则的取值范围是____.
14．设的内角的对边分别为，且，则________．
15．在锐角中，，，则的取值范围为____________.
三、解答题
16．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.
(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；
(2)若sinAcos2＋sinB·cos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．
17．中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，
(1)求b的值；
(2)求的面积.
18．在△ABC中，已知，B=45°，
求A、C及c
19．在中，角的对边分别为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
20．在△ABC中，设，求A的值.人教版A版高中数学必修五1.1.1正弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(
)
A．2
B．8
C．
D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：由正弦定理可知，∴，∴．
考点：正弦定理的运用．
2．错误！未找到引用源。中，若，则错误！未找到引用源。的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．
【详解】
因为sinC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，
所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，
因为A，B，C是三角形内角，所以A=B．
三角形的等腰三角形．
故答案为B．
3．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理分别求得和
，最后三边相加整理即可得到答案．
【详解】
根据正弦定理
，
的周长为.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
4．在△ABC中，若，则等于（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由条件知，三角形为直角三角形，根据勾股定理得
故
故选C.
5．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是
（
）
A．,有两解
B．,有一解
C．,无解
D．,有一解
【答案】D
【解析】
项中，故三角形一个解，项说法错误；项中，故有锐角和钝角两种解,
项说法错；项中
，故有解，项说法错；项中一定为锐角，有一个解，项说法正确，故选D.
6．设在中,角所对的边分别为,
若,
则的形状为
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.
【详解】
因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.
弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
7．ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin
AsinB+bcos2A=
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得sinB＝sinA，从而得到b＝a，可得答案．
【详解】
∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A＝a，
∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A＝
sinA，
可得sinB（sin2A+cos2A）＝
sinA，∵sin2A+cos2A＝1，
∴sinB＝
sinA，得b＝a，可得＝．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．
8．在△ABC中，若，则cos
B＝( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简得B＝，即得cos
B的值.
【详解】
由正弦定理知，故tan
B＝，所以B＝，所以cos
B＝，
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．在△ABC中，角的对边分别是，若，，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故选B.
10．设分别是错误！未找到引用源。中所对边的边长，则直线与位置关系是（
）
A．平行
B．重合
C．垂直
D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】
分别是错误！未找到引用源。中所对边的边长，
则直线斜率为：，
的斜率为：，
∵=﹣1，∴两条直线垂直．
故选C．
二、填空题
11．在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.
【答案】
【解析】
本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由得，所以
由正弦定理得，所以A=或（舍去）、
12．已知错误！未找到引用源。中，，，，则错误！未找到引用源。的面积为______.
【答案】.
【解析】
【分析】
先求角的大小，再代入三角形的面积公式.
【详解】
由可得，所以，于是的面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形的面积，属于简单题型.
13．在错误！未找到引用源。中，角所对的边分别为，若，，则的取值范围是____.
【答案】.
【解析】
【分析】
由正弦定理边角互化，再经过三角恒等变形为，根据角的范围，求三角函数的值域.
【详解】
由正弦定理可得，所以，，则
.又，则，即，所以，即的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化，三角恒等变形，三角函数求值域，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是正确化简.
14．设的内角的对边分别为，且，则________．
【答案】4
【解析】
试题分析：由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以．
考点：正余弦定理．
15．在锐角中，，，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π2
＜3
A＜π，且
0＜2A＜π2
，故
π6
＜A＜π4
，故＜cosA＜．
由正弦定理可得
1：
sinA
="
b"
：sin2A
，∴b=2cosA，∴＜b＜．
三、解答题
16．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.
(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；
(2)若sinAcos2＋sinB·cos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．
【答案】(1)
(2)
a＝3，b＝3.
【解析】
【详解】
(
(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝.
由余弦定理得cosC＝＝＝－.
(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，可得
sinA·＋sinB·＝2sinC，
化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.
因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.
由正弦定理可知a＋b＝3c.又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.
由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.
17．中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，
(1)求b的值；
(2)求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解.
试题解析：
（1）因，故……1分
因，故.……3分
由正弦定理，得.……6分
（2）……8分
……10分
的面积为.……12分
考点：诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.
18．在△ABC中，已知，B=45°，
求A、C及c
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由题意首先求得∠A的大小，然后分类讨论求解∠C和边c的值即可.
【详解】
由正弦定理得，
又a>b，A>B，则A=60°或120°.
当A=60°时，C=75°，；
当A=120°时，C=15°，.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及其应用，分类讨论的数学思想，属于基础题.
19．在中，角的对边分别为，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
【答案】（1）.
(2)
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由同角三角函数关系式由可得．由诱导公式和两角和差公式可得．（Ⅱ）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积．
试题解析：解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴．
∴△ABC的面积12分
考点：1诱导公式,两角和差公式;2正弦定理．
20．在△ABC中，设，求A的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理将边化为正弦，将正切化为正余弦，将式子化简后结合与的正弦关系得出A的余弦值，进而求得角的度数
【详解】
解：根据正弦定理
【点睛】
本题考查正弦定理、两角和差公式以及互补的角之间的正弦关系，要熟练掌握特殊角的三角函数值，若由余弦值求角度无需考虑多解，若由正弦值求角度，则需要考虑多解的情况.
