人教版A版高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则此三角形解的情况是(
)
A．一解
B．两解
C．一解或两解
D．无解
【答案】B
【解析】
由题意知，，，，∴，如图：
∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．
2．在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
在锐角中，利用，，可求得，再利用，由余弦定理可求得，解方程组可求得的值．
【详解】
∵在锐角中，，，
∴，
∴，①
又，是锐角，∴，
∴由余弦定理得：，
即，
∴②
由①②得：，解得．
故选A．
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题
3．在中，内角的对边分别为，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据诱导公式变形，，再根据正弦定理边角互化，求.
【详解】
由已知得，
即，因为，所以，故.
故选：D
【点睛】
本题考查三角恒等变形，正弦定理边角互化解三角形，意在考查基本公式的熟练应用，属于基础题型.
4．中，内角的对边分别为，满足，如果，那么的面积等于（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，代入余弦定理，最后代入三角形的面积公式求面积.
【详解】
由已知得，又由余弦定理的推，所以的面积.
故选：C
【点睛】
本题考查余弦定理，三角形面积公式的综合应用，意在考查转化与化归的思想，属于中档题型.
5．在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理线求和角，再求.
【详解】
由正弦定理得，所以，因为，，所以为锐角，故，故
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，意在考查公式的简单应用，属于基础题型.
6．在三角形中，内角的对边分别为，若，且，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理边角互化，，再结合，化简为，根据二倍角公式求的值.
【详解】
因为，所以，即，因为，所以，故.
故选：A
【点睛】
本题考查正弦定理，三角恒等变形的简单综合应用，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.
7．在中，内角的对边分别为，则下列等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一分析选项，A.根据正弦定理直接判断；B.根据余弦定理直接判断；C.根据正弦定理和二倍角公式直接判断；D.由正弦定理边角互化直接判断.
【详解】
A.由正弦定理可得，所以必成立.
B.由余弦定理可知，所以，所以不正确；
C.由正弦定理可知，若满足，即
,即，则，所以只有时，才成立，所以不正确；
D.根据正弦定理，则，故不正确.
故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理的辨析，属于基础概念，公式题型.
8．
为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，连结AC
则是直角三角形；
是等腰三角形，
，选D
9．在中，，，，则的面积是（
）．
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】
，
∴，或．
（）当时，．
∴．
（）当时，．
∴．
故选．
10．在△ABC中，若a＝2bsinA，则角B等于（ ）
A．30°或150°
B．45°或60°
C．60°或120°
D．30°或60°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦定理进行边角互化再求解即可.
【详解】
由正弦定理有,因为.因为,故.
即,又,故B等于30°或150°.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边角互化问题,属于基础题型.
二、填空题
11．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA，sinB及b的值即可求出a的值．
【详解】
由tanA=2，得到cos2A==，
由A∈（0，π），得到sinA==，
根据正弦定理得：=，得到a===2．
故答案为：，2
【点睛】
此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值，属于中档题．
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________.
【答案】
【解析】
【分析】
在三角形ABC中，利用余弦定理求出cosB的值，进而求出B，又因为AD为BC边上的高可知三角形ABD为直角三角形，根据三角函数的定义利用B的正弦函数等于AD比AB，即可求出AD的长．
【详解】
如图由余弦定理得：cosB===，
因为B∈（0，π），所以B=，
故AD=ABsin=2×=．
故答案为
【点睛】
此题考查学生灵活运用余弦定理化简、求值及会利用已知的边、角解直角三角形，是一道基础题．
13．在极坐标系中,由三条直线,，围成的图形的面积是________
【答案】
【解析】
分析：先把三条直线的方程化成直角坐标方程，再求三角形的底边长和高，再求三角形的面积.
详解：三条直线θ=0,θθ+ρsinθ=1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y
三条直线围成的图形如图阴影部分所示.
则点A(1,0),
故S△AOB故答案为：.
点睛：本题主要考查极坐标化成直角坐标，考查直线位置关系和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
14．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC．若△ABC的面积为sinC，则C＝____．
【答案】60°
【解析】
由的周长为，可得
根据，利用正弦定理可得：
两式相减，求得
由的面积为，可得，可得
而
由余弦定理可得
15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，cos
C＝，则其外接圆半径为________．
【答案】
【解析】
,
,故填.
三、解答题
16．在中，已知，求角的大小．
【答案】或
【解析】
试题分析：由向量数量积定义把已知条件转化为三角形内的边、角问题．首先由得，求，由得，利用正弦定理边化角为，利用内角的关系消元，得关于一个角的三角方程，解方程求角．
试题解析：设
由得，所以
又因此
由得，于是
所以，，
因此，既
由A=知，所以，
从而或，既或
故或．
考点：1、平面向量数量积的定义；2、正弦定理；3、三角函数图象和性质．
17．（1）已知的三个内角分别为、、，求证：.
（2）若，且，，根据（1）的结论求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理进行边角互化即可；
（2）观察后设,使得
满足三角形三个内角的条件,进而由（1）求解
【详解】
（1）证明：
由余弦定理可得,,
（2）由题,设
由（1）可得,,
即
【点睛】
本题考查正弦定理的应用,考查诱导公式在三角形中的应用,考查运算能力
18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知.
(Ⅰ)求B；
（Ⅱ）若.
【答案】(I)
（II），
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．
【详解】
(I)由正弦定理得
由余弦定理得.
故，因此
（II）
故
.
【点睛】
本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．
19．设角所对边分别为，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先根据同角三角函数关系求由正弦定理求的值；（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理求，最后求的周长.
【详解】
解（1）
由正弦定理,得.
（2）
.
由余弦定理得，
的周长为
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
20．在锐角中，.
（1）求角的值；
（2）若且，求的值.
【答案】（1）；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）用正弦定理把已知条件转化为角的关系后可求C；
（2）用余弦定理和面积公式，然后
【详解】
（1）∵，∴，显然，∴，
∴．
（2）由得，即，
又，∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握解三角形的几个公式是解题基础，本题还考查学生的运算求解能力，属于基础题．人教版A版高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则此三角形解的情况是(
)
A．一解
B．两解
C．一解或两解
D．无解
2．在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
3．在中，内角的对边分别为，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．中，内角的对边分别为，满足，如果，那么的面积等于（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
5．在中，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．在三角形中，内角的对边分别为，若，且，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．在中，内角的对边分别为，则下列等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．
为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．在中，，，，则的面积是（
）．
A．
B．
C．或
D．或
10．在△ABC中，若a＝2bsinA，则角B等于（ ）
A．30°或150°
B．45°或60°
C．60°或120°
D．30°或60°
二、填空题
11．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
12．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________.
13．在极坐标系中,由三条直线,，围成的图形的面积是________
14．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC．若△ABC的面积为sinC，则C＝____．
15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，cos
C＝，则其外接圆半径为________．
三、解答题
16．在中，已知，求角的大小．
17．（1）已知的三个内角分别为、、，求证：.
（2）若，且，，根据（1）的结论求的值.
18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知.
(Ⅰ)求B；
（Ⅱ）若.
19．设角所对边分别为，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积，求的周长.
20．在锐角中，.
（1）求角的值；
（2）若且，求的值.
