人教版A版高中数学必修二第四章圆与方程达标检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．圆与直线的位置关系是（
）
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心
D．相离
3．已知两条平行直线
，之间的距离为1，与圆：相切，与相交于，两点，则（
）
A．
B．
C．3
D．
4．直线被圆截得的弦长为（
）
A．1
B．2
C．4
D．
5．若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（???）
A．
B．
C．
D．
6．已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为
A．
B．
C．
D．
7．已知直线被圆：所截得的弦长为，且为圆上任意一点，点为定点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与的关系为（ ）
A．外离
B．相交
C．相切
D．内含
9．已知实数、满足方程，则最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
12．已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．
13．圆与圆的公共弦长为______.
14．已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.若，其中O为坐标原点，则________.
15．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______
三、解答题
16．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
17．已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断点与圆的关系.
18．已知的顶点坐标分别为，，，是的中点
（1）求边所在直线的方程
（2）求以线段为直径的圆的方程．
19．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.
（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二第四章圆与方程达标检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得圆M的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.
【详解】
由题意可得圆M的圆心坐标为，
以为圆心，以3为半径的圆的方程为．
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.
2．圆与直线的位置关系是（
）
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心
D．相离
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解圆心到直线的距离，与半径比较大小，再判断圆心是否满足直线方程．
【详解】
由题意知圆心到直线的距离且，所以直线与圆相交但不过圆心．
【点睛】
直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离，与半径比较大小判断
3．已知两条平行直线
，之间的距离为1，与圆：相切，与相交于，两点，则（
）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心到直线
的距离为2，进而可得圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系及垂径定理分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，与圆：相切，则圆心到直线的距离为2，
又由两条平行直线，之间的距离为1，则圆心到直线的距离，
则；
故选：D．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．
4．直线被圆截得的弦长为（
）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
因为化为，可知圆的圆心为,半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得直线被圆截得的弦长为，
故选C.
5．若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（???）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB垂直，可得AB斜率k＝1，结合直线方程的点斜式列式，即可得直线AB的方程.
【详解】
∵AB是圆（x﹣1）2+y2＝25的弦，圆心为C（1，0）
AB的中点P（2，﹣1）满足AB⊥CP
因此，AB的斜率k＝,
可得直线AB的方程是y+1＝x﹣2，化简得x﹣y﹣3＝0
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的弦的性质，考查直线方程的求法，属于基础题.
6．已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：将圆的方程化为标准方程得，过点的最长弦为直径，所以；最短的弦为过点且垂直于该直径的弦，所以，且，四边形面积，故选B．
考点：1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．
7．已知直线被圆：所截得的弦长为，且为圆上任意一点，点为定点，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据弦长为可求得的值,再根据的最大值为圆心到的距离加半径求解即可.
【详解】
由题意,圆心到直线的距离与垂径定理可得
,化简得.因为,故.
又,半径为,
所以的最大值为
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了垂径定理求解参数值的问题以及点到圆上距离最大值的问题,属于基础题.
8．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与的关系为（ ）
A．外离
B．相交
C．相切
D．内含
【答案】B
【解析】
【分析】
将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距，并将圆心距与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系.
【详解】
在曲线的极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，
即，则曲线是以点为圆心，以为半径的圆，
同理可知，曲线的普通方程为，则曲线是以点为圆心，以为半径的圆，
两圆圆心距为，，
，，因此，曲线与相交，故选：B.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．已知实数、满足方程，则最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将圆的方程化为标准形式，可得出圆心的坐标和圆的半径，将视为坐标原点到圆上一点距离的平方，即可得出结果.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径长为，
，所以，原点在圆外.
的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，.
故选：A.
【点睛】
本题考查最值的计算，利用该代数式的几何意义求解是解答的关键，同时也考查了圆外一点到圆上一点距离最值的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
10．过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设切线方程为：，与抛物线联立，表示线段的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.
【详解】
设过点的抛物线的切线方程为：，
即（
），
代入得，
由得，（1）
所以方程（1）有两个不相等的实数根，，
且，，
在（
）中令得，，
设的外接圆圆心为点，
则，
下求：线段中点横标，纵标，
线段的中垂线方程为，
令得，
由（1）知，故，
设的外接圆半径为，
则，
所以的外接圆方程为，
即.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题
11．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】
抛物线E:
的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，
所以弦长．
【点睛】
本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．
12．已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
由两直线平行，可先求出参数的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.
【详解】
因为直线，平行，所以，解得，
所以即是，
由两条平行线间的距离公式可得.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.
13．圆与圆的公共弦长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆所得弦长即可.
【详解】
将圆和圆的方程作差并化简得，即两圆公共弦所在直线的方程为.
圆的圆心为坐标原点，半径长为，圆的圆心到直线的距离为，
因此，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查两圆公共弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
14．已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.若，其中O为坐标原点，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】
可设，，直线的方程为，代入圆的方程即可得出：：，然后根据韦达定理即可得出，，从而可根据得出，解出，从而得出直线的方程为，从而得出圆心在上，从而得出．
【详解】
设，，将代入方程，整理得：，
，，，
，
由题设可得，解得，的方程为，
圆心在上，．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查直线的点斜式方程、圆的标准方程、韦达定理、向量坐标的数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意数量积的坐标运算.
15．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.
【详解】
作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.
三、解答题
16．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12
【解析】
【分析】
（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【详解】
解：（1）圆C的半径为
，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
17．已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）判断点与圆的关系.
【答案】（1）；（2）点P在圆外.
【解析】
【分析】
（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；
（2）根据点与圆C的位置关系，即可得到结论.
【详解】
（1）圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则，
即，
即，
解得，即圆心为，
半径
则圆的标准方程为
（2）
点在圆的外面.
【点睛】
本题考查（1）圆的标准方程求解（2）判断一点是否在圆上，属于基础题.
18．已知的顶点坐标分别为，，，是的中点
（1）求边所在直线的方程
（2）求以线段为直径的圆的方程．
【答案】（1）6x－y＋11＝0.
（2）x2＋(y－3)2＝5.
【解析】
【分析】
（1）利用两点式或点斜式求直线的方程．（2）求出圆心和半径，可求圆的方程．
【详解】
解：（1）因为，，所以由两点式得的方程为，
整理得．
（2）因为是的中点，所以，即，
所以，所以圆的半径为．
所以的中点为，即中点为，
所以以线段为直径的圆的方程为．
【点睛】
本题主要考查了直线的方程，圆的标准方程以及两点间的坐标公式，综合性较强，要求熟练掌握对应的公式．
19．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
试题分析：（1）中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线，直线与圆相切，可得直线方程与椭圆方程联立可得：，可得，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其即可解出的范围.
试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，
故点的轨迹方程式
（2）设直线
直线与圆相切
联立
所以或为所求.
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.
（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意先计算出点坐标，然后得到直线的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算斜率不存在时，被圆截得弦长，斜率存在时设为，与椭圆联立，得到和，代入到得到的关系，表示出直线被圆截得的弦长，代入的关系，从而得到弦长的最大值.
【详解】
解：（1）因为椭圆的方程为，
所以，，
因为轴，所以，
根据对称性，可取，
则直线的方程为，即.
因为直线与圆相切，得，
所以圆的方程为
.
（2）圆的半径为2，可得圆的方程为.
①当轴时，，所以，
得，
此时得直线被圆截得的弦长为.
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
，，
首先由，得，
即，所以（
）.
联立，消去得，
在时，，
代入（
）式，得，
由于圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为，
故当时，有最大值为.
综上，因为，
所以直线被圆截得的弦长的最大值为.
【点睛】
本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.
试卷第1页，总3页
