物体的平衡之巧妙方法
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文档简介
物体的平衡之巧妙方法——摩擦角的应用
（邮箱：chaoyi7145@）
摩擦角的定义
摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力），支持面的支持力的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力与支持力的方向成角（如图1所示），而这个角就称之为摩擦角。
解析：由摩擦公式: 得
，
摩擦角
二、意义
引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定），这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0，等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交。
三、方法的应用
例1，如图2所示，用绳通过定滑轮 物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（ ）。
A.绳子的拉力将保持不变 B.绳子的拉力将不断增大
C.地面对物块的摩擦力不断减小 D.物块对地面的压力不断减小
解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。重力为有向线段①，从该线段箭头端点做地面作用力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势。由知力三角形中①和②的夹角小于45 ，初始状态绳子拉力与水平呈45 ，力三角形中③和①的夹角从45 开始慢慢减小，图3中θ<90 ，不难得出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。
例2，如图4所示，倾角45 的斜面上，放置一质量m的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（ ）。
A. ，与水平成15 斜向右 B. ，竖直向上
C. ，沿斜面向上 D. ，水平向右
解析：由得，摩擦角，作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面对物块的作用力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则方向与水平成15 斜向右。即A正确。
例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图6，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
A. F先减小后增大 B. F一直增大
C. F的功率减小 D. F的功率不变
解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：，两式联立解得，可见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率，可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废）
方法二（引入摩擦角）：由得，摩擦角φ<45 ，作出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的作用力F1，红色有向线段为拉力F，蓝色有向线段为重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中，F的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减小后增大。对于F的功率，由矢量表达式：，重力的功率显然为0（重力与速度成90 ），得到F的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率,显然F1与v的角度ψ保持不变，而F1不断的减小，从而F的功率的值不断的减小，所以答案为AC。
结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参加竞赛的学生才掌握。
例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因素，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？
答案：
解析：摩擦角，考虑临界情况，重力mg、地面对物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时，则有，临界角，由图9可知时物体可在地面上滑动。即。
四、拓展实践
练习1．一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，图10所示，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
练习2．（竞赛训练）结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图11所示，
求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；
当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？
练习3．（竞赛训练）一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，同图11所示，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
答案解析
练习1，
解析：（引入摩擦角）如图12所示，摩擦角，由平衡条件得，作力的矢量三角形，其中：蓝色有向线段为重力，黑色有向线段为斜面对物体的作用力，红色有向线段为拉力。显然：当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：
练习2，解析：（1）（引入摩擦角）将梯子的重力，根据三力汇交，作出力的三角形，如图13所示，其中N1为竖直墙面对楼梯的支持力，F为水平面对楼梯的作用力，摩擦角：。
由平衡条件可得:
所以有：
（2）如图14所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。
练习3，解析：系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力分别用水平面对梯子的作用力F1以及竖直墙面对梯子的作用力F2表示，则梯子就只受三个力，由三力汇交，且三个力必共点。
解：如图15所示， ，，由平衡条件和几何关系可得：
即梯子与地面所成的最小的角为：
参考书目：最新《更高更妙的物理—冲刺全国高中物理竞赛》和宋樟伟的“摩擦角在平衡问题中应用（适合高一、三）”
写作缘由：旨在与同行交流物理教学心得
图1
v
45
图2
45
m
图4
③
②
θ
O
图3
45
m
图5
15
30
O
F
θ
图6
φ<45
图7
v
ψ
F1
F
G
F
θ
图8
F
θ
图9
mg
ψ
F
F
图10
α
v
图11
G
F
图12
α
N1
G
F
θ0
图13
N1
G’
F
θ0
图14
θ
G
F1
1
A
H
C
D
E
B
F2
2
图15
（邮箱：chaoyi7145@）
摩擦角的定义
摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力），支持面的支持力的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力与支持力的方向成角（如图1所示），而这个角就称之为摩擦角。
解析：由摩擦公式: 得
，
摩擦角
二、意义
引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定），这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0，等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交。
三、方法的应用
例1，如图2所示，用绳通过定滑轮 物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（ ）。
A.绳子的拉力将保持不变 B.绳子的拉力将不断增大
C.地面对物块的摩擦力不断减小 D.物块对地面的压力不断减小
解析：如图3所示，取物体O点，作力的三角形。重力为有向线段①，从该线段箭头端点做地面作用力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势。由知力三角形中①和②的夹角小于45 ，初始状态绳子拉力与水平呈45 ，力三角形中③和①的夹角从45 开始慢慢减小，图3中θ<90 ，不难得出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。
例2，如图4所示，倾角45 的斜面上，放置一质量m的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（ ）。
A. ，与水平成15 斜向右 B. ，竖直向上
C. ，沿斜面向上 D. ，水平向右
解析：由得，摩擦角，作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面对物块的作用力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则方向与水平成15 斜向右。即A正确。
例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图6，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
A. F先减小后增大 B. F一直增大
C. F的功率减小 D. F的功率不变
解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：，两式联立解得，可见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率，可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。（此常规方法对数学要求比较高，如果是在高考时过于紧张，一时半会儿对其中的F表达式里变化情况弄不清楚从而半途而废）
方法二（引入摩擦角）：由得，摩擦角φ<45 ，作出力的三角形，如图7所示，黑色射线为地面对木箱的作用力F1，红色有向线段为拉力F，蓝色有向线段为重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中，F的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减小后增大。对于F的功率，由矢量表达式：，重力的功率显然为0（重力与速度成90 ），得到F的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率,显然F1与v的角度ψ保持不变，而F1不断的减小，从而F的功率的值不断的减小，所以答案为AC。
结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参加竞赛的学生才掌握。
例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因素，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？
答案：
解析：摩擦角，考虑临界情况，重力mg、地面对物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时，则有，临界角，由图9可知时物体可在地面上滑动。即。
四、拓展实践
练习1．一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，图10所示，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
练习2．（竞赛训练）结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图11所示，
求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；
当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？
练习3．（竞赛训练）一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，同图11所示，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
答案解析
练习1，
解析：（引入摩擦角）如图12所示，摩擦角，由平衡条件得，作力的矢量三角形，其中：蓝色有向线段为重力，黑色有向线段为斜面对物体的作用力，红色有向线段为拉力。显然：当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：
练习2，解析：（1）（引入摩擦角）将梯子的重力，根据三力汇交，作出力的三角形，如图13所示，其中N1为竖直墙面对楼梯的支持力，F为水平面对楼梯的作用力，摩擦角：。
由平衡条件可得:
所以有：
（2）如图14所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。
练习3，解析：系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力分别用水平面对梯子的作用力F1以及竖直墙面对梯子的作用力F2表示，则梯子就只受三个力，由三力汇交，且三个力必共点。
解：如图15所示， ，，由平衡条件和几何关系可得：
即梯子与地面所成的最小的角为：
参考书目：最新《更高更妙的物理—冲刺全国高中物理竞赛》和宋樟伟的“摩擦角在平衡问题中应用（适合高一、三）”
写作缘由：旨在与同行交流物理教学心得
图1
v
45
图2
45
m
图4
③
②
θ
O
图3
45
m
图5
15
30
O
F
θ
图6
φ<45
图7
v
ψ
F1
F
G
F
θ
图8
F
θ
图9
mg
ψ
F
F
图10
α
v
图11
G
F
图12
α
N1
G
F
θ0
图13
N1
G’
F
θ0
图14
θ
G
F1
1
A
H
C
D
E
B
F2
2
图15
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