2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第18章 相似形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年北京课改新版九年级上册数学《第18章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．已知非零实数a，b，c，d满足＝，则下面关系中成立的是（　　）
A．
B．
C．ac＝bd
D．
2．下列说法正确的个数有（　　）个
①凡正方形都相似；
②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　）
A．4：9
B．2：3
C．：
D．16：81
4．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（　　）
A．6.4m
B．7m
C．8m
D．9m
5．已知2a﹣3b＝0，则的值为（　　）
A．
B．2
C．3
D．
6．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC和△DEF的面积比为（　　）
A．1：
B．：1
C．9：1
D．1：9
8．如图，在?ABCD中，点E在AD边上，BE交对角线AC于点F，则下列各式错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．大自然巧夺天工，一片小心树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（　　）
A．4﹣4
B．12﹣4
C．12+4
D．4+4
10．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED
B．∠B＝∠D
C．＝
D．＝
二．填空题
11．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　
　对相似三角形．
12．已知（b≠0），则的值为　
　．
13．已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝　
　cm．
14．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝　
　．（用根号表示）
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝　
　．
16．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　
　倍．
17．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是　
　cm2．
18．如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝2，AD＝4，DB＝6，则BC的长是　
　．
19．如图，身高为1.6米的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是　
　米．
20．两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，则两三角形面积之比为　
　．
三．解答题
21．如图，已知＝＝，且PQ＝2cm．求AB的长．
22．已知：a：b＝：，b：c＝2：5，求：a：b：c（化成最简整数比）
23．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC?AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．
24．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　
　．
25．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，再一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）．
26．求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
27．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为SN．
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜Sn＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
②当n＞1时，请写出一个反映Sn﹣1，Sn，Sn+1之间关系的等式．（不必证明）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：因为非零实数a，b，c，d满足＝，
所以肯定，或ad＝bc；
故选：B．
2．解：①凡正方形都相似，正确；
②等腰三角形两腰相等，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；
③凡等腰直角三角形都相似，正确；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题错误；
所以，说法正确的有①③共2个．
故选：B．
3．解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴两个相似多边形周长的比等于2：3，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故选：B．
4．解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
5．解：∵2a﹣3b＝0，
∴2a＝3b，
则的值为：．
故选：D．
6．解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选：D．
7．解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝（A选项不符合题意），＝（D选项不符合题意），＝，
∴＝＝，
∴＝（C选项不符合题意）．
故选：B．
9．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝AB，
∴AB＝AP＝×8＝4+4（cm），
故选：D．
10．解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵∠A＝∠A，∠1＝∠2，
∴∠ADE∽△ABC，
∵∠A＝∠A，
∠1＝∠3，
∴△ADE∽△ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴DE∥CB，
∴∠DCB＝∠CDE，
∵∠2＝∠3，
∴△BDC∽△CED，
故答案为4
12．解：∵（b≠0），
∴设a＝2x，b＝3x，
则的值为：＝．
故答案为：．
13．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．
故答案为：4．
14．解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB?BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．
故答案为：﹣1+．
15．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝3，BD＝4，AE＝2，
∴＝，
解得EC＝，
∴AC＝AE+EC＝2+＝，
故答案为：．
16．解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
17．解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，
则相似比是3：4.5＝2：3，
面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，
因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm2），
则较大的是9x（cm2），
根据面积的和是130（cm2），
得到4x+9x＝130，
解得：x＝10，
则较小的多边形的面积是40cm2．
故答案为：40．
18．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝4，BD＝6，
∴AB＝10，
∴＝，
解得BC＝5，
故答案为：5．
19．解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，
解得：h＝8米．
故答案为：8．
20．解：∵两个相似三角形对应边上的中线之比为4：9，
∴两个相似三角形相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为16：81，
故答案为：16：81．
三．解答题
21．解：∵＝，PQ＝2cm，
∴PB＝3PQ＝6，
∵＝，
∴AB＝3AP，
即AP+6＝3AP，解得AP＝3，
∴AB＝9（cm）．
即AB的长为9cm．
22．解：∵a：b＝：＝3：4，b：c＝2：5＝4：10，
∴a：b：c＝3：4：10．
23．解：设太和门到太和殿的距离为x丈，
由题意可得，x2＝100（100﹣x）
解得，，（舍去）
则x≈﹣50+50×2.2＝60，
答：太和门到太和殿的距离为60丈．
24．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴＝；
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BD＝BC＝，
∴AD＝＝＝，
∴△ABD的周长＝+3+＝．
故答案为．
25．解：设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为，
由A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得＝，
故＝≈1.414．
故答案为：1.414．
26．已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，
求证：＝k，
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝＝k．
27．解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．
理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴△BCD∽△ACB．
（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为，
∴Sn＝．
当n＝5时，S5＝≈9.77，
当n＝6时，S6＝≈2.44，
当n＝7时，S7＝≈0.61，
∴当n＝6时，2＜S6＜3．
②Sn2＝Sn﹣1×Sn+1．