2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第24章 相似三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第24章
相似三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如果是非零向量，那么下列等式正确的是（　　）
A．＝
B．＝
C．
+＝0
D．
+＝0
2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长为（　　）
A．3cm
B．4
cm
C．5cm
D．6
cm
3．已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列图形中，一定相似的是（　　）
A．两个矩形
B．有一组角相等的两个等腰三角形
C．有一组对应角相等的两个菱形
D．两边对应成比例且有一组角相等的三角形
5．已知3a＝2b（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为CD上一点，且AE＝AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM＝DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE＝S△ADE；④BE2＝2AE?EC．其中结论正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．若△ABC∽△DEF，它们的相似比为4：1，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．2：1
B．4：1
C．8：1
D．16：1
10．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（　　）
A．10
B．
C．12
D．14
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，中线AD、CE相交于点F，则AF的长为　
　．
12．如果2x＝5y（y≠0），那么＝　
　．
13．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝　
　（用向量、的式子表示）．
14．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　
　．
15．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　
　．
16．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为　
　cm．
17．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是　
　．
18．在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为　
　km．
19．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　
　．
20．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为　
　．
三．解答题
21．已知P为线段AB上一点，且AB被点P分为AP：PB＝2：3．
（1）求AB：BP；
（2）如果AB＝100cm，试求PB的长．
22．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
23．如图，已知AD是△ABC的中线，G是重心．
（1）设＝，＝，用向量、表示；
（2）如果AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求BG的长．
24．若，且2a﹣b+3c＝21．试求a：b：c．
25．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断成立吗？并说明理由．
26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2BD，已知，．
（1）用向量、分别表示向量、；
（2）作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵是非零向量，
∴||＝||．
故选：A．
2．解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝cb，
代入a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
解得：d＝4，
则d＝4cm．
故选：B．
3．解：根据题意得AP＝AB，
所以PB＝AB﹣AP＝AB，
所以PB：AB＝．
故选：B．
4．解：A、两个矩形对应边的比值不一定相等，故此选项错误；
B、有一组角相等的两个等腰三角形，有可能是两三角形的底角与顶角对应相等，故此选项错误；
C、有一组对应角相等的两个菱形，相似，故此选项正确；
D、两边对应成比例且两边的夹角相等的三角形相似，故此选项错误．
故选：C．
5．解：A、∵3a＝2b，
∴两边都除以3b得：＝，故本选项不符合题意；
B、∵3a＝2b，
∴两边都除以2a得：＝，故本选项符合题意；
C、3a＝2b，
∴两边都除以2a得：＝，故本选项不符合题意；
D、∵3a＝2b，
∴两边都除以6得：＝，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴＝＝，故①③正确，
设S△DOE＝S，则S△EOC＝2S，S△BOC＝4s，
∴＝，故②错误，
∵DE∥BC，
∴＝1，故④错误，
故选：B．
7．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
8．解：①∵在直角△ADE中，∠ADE＝90°，M为AE的中点，∴DM＝AE，∵AE＝AB，AB＝2BC＝2DA，∴DM＝DA，正确；
②在直角△ADE中，∠ADE＝90°，AD＝AE，∴∠DEA＝30°．∵CD∥AB，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，∠CEB＝∠ABE．在△EAB中，∠EAB＝30°，AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝75°，∴∠CEB＝75°，∴EB平分∠AEC，正确；
③∵S△ABE＝S矩形ABCD，S△ADE＜S△ADC＝S矩形ABCD，∴S△ABE＞S△ADE，错误；
④在矩形ABCD中，设BC＝DA＝a，则AE＝AB＝DC＝2BC＝2a，DE＝AD＝a，∴EC＝（2﹣）a．在直角△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝a2+[（2﹣）a]2＝（8﹣4）a2，2AE?EC＝2×2a×（2﹣）a＝（8﹣4）a2，正确．
故选：C．
9．解：∵△ABC∽△DEF，它们的相似比为4：1，
∴△ABC与△DEF的周长的比为：4：1．
故选：B．
10．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∵DE＝4，
∴EF＝10，
∴DF＝DE+EF＝4+10＝14，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵AB＝AC，AD为中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，
在Rt△ABD中，AD＝＝3，
∵点F为中线AD、CE的交点，
∴F点为△ABC的重心，
∴AF＝AD＝×3＝2．
故答案为2．
12．解：∵2x＝5y（y≠0），
∴＝．
故答案为：．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝+＝﹣﹣．
故答案为：﹣﹣．
14．解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2×＝﹣1．
15．解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴＝，＝，
∵EF∥BC，＝，
∴＝．
故答案为：．
16．解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比是
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷＝16cm．
17．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠B或∠E＝∠C或时，△ADE∽△ACB．
故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或
18．解：设A、B两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，
解得x＝150000，
150000cm＝1.5km．
故答案为1.5．
19．解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC?AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
20．解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，
∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，
∴∠ADC＝∠MDG，
∴∠ADM＝∠CDG，
∴△ADM≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCG＝135°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAM＝90°，
∴MH＝GH＝＝＝5k，
∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，
∴△DGH∽△AGD，
∴＝，
∴DG2＝GH?GA＝40k2，
∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝12，
∴AD＝CD＝6，
∵DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，
∴GJ＝8K﹣3，
在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，
∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，
解得k＝或（舍弃），
∴AH＝3k＝．
②如图2中，当点H在线段AC上，点G在AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，
解得k＝（舍弃）或，
∴AH＝3k＝．
③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，
解得k＝或﹣3（舍弃），
∴AH＝3k＝3，
综上所述，满足条件的AH的值为或或3．
故答案为或或3．
三．解答题
21．解：（1）设AP＝2x，则PB＝2x，AB＝5x，
所以＝＝；
（2）当AB＝100时，＝，
所以PB＝60（cm）．
22．解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
23．解：（1）∵AD是△ABC的中线，＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝+，
∵G是重心，
∴＝×（+）═+；
（2）延长BG交AC于H，
∵∠GAC＝∠GCA，
∴GA＝GC，
∵G是重心，AC＝2，
∴AH＝AC＝1，
∴BH⊥AC，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝3，
∴BH＝＝2，
∴BG＝BH＝．
24．解：设＝＝＝k，
则a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，
所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，
解得k＝2，
所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，
所以a：b：c＝4：8：7．
25．解：成立．
理由如下：
∵DE∥BC，
∴．
∵EF∥AB，
∴．
∴．
26．解：（1）∵DE∥BC，AD＝2BD，
∴，
∴，（2分）
∵与方向相同，
∴，（2分）
∵＝，
∴．（2分）
∵，
∴．（2分）
（2）作出的图形中，在方向上的分向量，
＝+﹣＝﹣+﹣（﹣+）＝﹣+，
方向上的分向量＝＝（+）＝+．
27．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°，
∴∠BCE＝∠A＝36°，
∴AE＝BC，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴BC2＝AB?BE，
即AE2＝AB?BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴BC＝CE，
由（1）已证AE＝CE，
∴AE＝CE＝BC，
∴BC＝?AB＝×4＝2﹣2．