河北唐山一中11-12学年度下学期高二期中考试数学理

河北唐山一中
2011—2012学年度下学期期中考试
高二数学理试题
试卷Ⅰ（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．
1．复数
A. B. C. D.
2．因为无理数是无限小数，而是无理数，所以是无限小数．上面推理属于
A．归纳推理 B．类比推理 C．合情推理 D．演绎推理
3. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（　　）
Ａ．恰有1只坏的概率 Ｂ．恰有2只好的概率
Ｃ．4只全是好的概率 Ｄ．至多2只坏的概率
4. 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）
A.种 B.种 C.·种 D.种
5.（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设；
（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
6.用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是
A. B. C. D.
7.由个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有
A. B. C. D.
8.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为
A. B. C. D.
9. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．若满足且，则方程解的个数
A. B. C. D.
11.在某次数学测验中,学号为的四位同学的考试成绩为,且满足,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为
A. B. C. D.
12．设函数是定义在上的奇函数，且，当时,有恒成立，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
试卷Ⅱ（共90分）
二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分）
13.若，则
.
14．若点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离是 .
15.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是　　　　．
16.已知在区间上，，，对轴上任意两点,
都有. 若,
,,则的大小关系为 .
三、解答题（本题共6个小题 共计70分）
17.（本小题满分10分）
若的展开式中的系数是.
（1）求展开式中的常数项；
(2)求的值.
18. （本小题满分12分）
由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
19．（本小题满分12分）
在中，若，于，则．在四面体中，若，，两两垂直，底面，垂足为，则类似的结论是什么？并说明理由．
20．（本小题满分12分）
设.
（1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行选考核（即共项测试，随机选取项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的选考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为，第二次参加考试合格的概率为，第三次参加考试合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过.
(1)求小李第一次考试即通过的概率；
（2）求小李参加考核的次数分布列.
22.（本小题满分12分）
已知函数且导数.
（1）试用含有的式子表示，并求的单调区间；
（2）对于函数图象上不同的两点，且，如果在函数图像上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“相依切线”.特别地，当时，又称存在“中值相依切线”.试问：在函数上是否存在两点使得它存在“中值相依切线”？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共5×12=60分）
BDBDD BCBAB DD
二、填空题：（每小题5分，共4×5=20分）
13． 14．
15． 16．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
解:(1),
,,
, ………………… 4分
因此展开式中的常数项为. ………………… 6分
(2)
………………… 10分
18．（本小题满分12分）
解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
19．（本小题满分12分）
解：如图，在四面体中，若，，两两垂直，底面，垂足为，则． ………………… 4分
证明如下：
连接并延长交于，连接．∵，，两两垂直，
∴平面 ．又∵平面， ∴ ．
在中，有
． ①………………… 8分
又易证，
∴在中，． ② ………………… 10分
将②代入①得 ．………………… 12分
20. （本小题满分12分）
解：（1）由已知得：， ………………… 1分
要使在其定义域为单调递增函数，只需，
即在上恒成立，
显然，且的对称轴为，………………… 2分
故，解得. ………………… 4分
（2）原命题等价于在上有解， ………………… 6分
设
………………… 8分
在上是增函数，
， ………………… 10分
解得，的取值范围是. ………………… 12分
（本小题满分12分）
解 (1) ………………… 3分
(2) 由已知可取 ………………… 4分
………………… 8分
的分布列为
……………… 12分
22. （本小题满分12分）
解：(1)，，， ……………… 1分
，（舍去），，……… 2分
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.……………… 4分
(2) 假设存在点满足条件,
则,整理得:, ……………… 6分
令,则问题转化为方程:有根,
设,,……………… 9分
函数为上的单调递增函数,且,,
所以不存在使方程成立,
即不存在点满足题意. ……………… 12分