河北唐山一中11-12学年度下学期高二期中考试数学文

河北唐山一中
2011—2012学年度下学期期中考试
高二数学文试题
1．考试时间120分钟，满分150分。2.将卷I答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷II用蓝黑钢笔或签字笔答在试卷上。3. II卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
卷I（选择题，共60 分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,计60分)
1．复数等于（ ）
A． １+ｉ B． １－ｉ C．－１+ｉ D． －１－ｉ
2．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）
A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ②和④
3. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
4. 函数，已知在时取得极值，则=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
6．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
7. 如图，已知六棱锥的底面是正六边形，
，则下列结论正确的是（ ） A．　　
B．平面
C．直线∥平面
D．
8．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D． 9．已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．函数在［－1，3］上的最大值为（ ）
A.11 B.2 C.12 D.10
11．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A.1 B. C.2 D.3
12．已知函数的导函数为f(x),若a+b+c=0,
f(0)f(1)>0,设是方程f(x)=0的两个根,则 ( http: / / www. / )的取值范围为( )
A. B. C. D. ( http: / / www. / )
卷II（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,计20分)
13. 已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于____________.
14．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，
则BD＝____________cm.
15. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为____________.
16. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共6小题，计70分,写出必要的解题过程)
17.（本小题10分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（1）求证：平面；
（2）当且E为PB的中点时， 求AE与平面PDB所成的角的大小.
18.（本小题12分）已知三次函数的导函数，
，（，）．
(1)若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；
(2)若在区间［-1，1］上的最小值，最大值分别为-2和1，且，求函数的解析式．
19. （本小题12分） 如图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．
求：（1）直线到平面的距离；
（2）二面角的平面角的正切值．
20.（本小题12分）已知函数。
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
21.（本小题12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD．
22. 已知函数
（1）求的单调区间；
（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，
求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1～6 A D C D A C　7～12　D D D A C B
二、填空题
13. 14. 15. 9 16.
三、解答题
17. （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.——————5分
（2）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE//PD，，又∵，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.———10分
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（1）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.————5分
（2）当且E为PB的中点时，，设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.——10分
18
解析：（１）由导数的几何意义=12 ……………1分
∴ ……………2分
∴ ∴ ………………………3分
（２）∵ ， ∴
……5分
由 得，
∵ ［-1，1］，
∴ 当［-1，0）时，，递增；
当（0，1］时，，递减。……………8分
∴ 在区间［-1，1］上的最大值为
∵ ，∴ =1 ……………………10分
∵ ，
∴ ∴ 是函数的最小值，
∴ ∴
∴ =
19（1）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离
在中，
由平面，得AD，从而在中，
。即直线到平面的距离为。
（2）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE
，所以，为二面角的平面角，记为.
在中, ,由得,,从而
在中, ,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
（1）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥，
面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而
,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.
,故有 ② 联立①,②解得,
为直线AB到面的距离. 而 所以
(2)因四边形为平行四边形,则可设, .由
得,解得.即.故
由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以
20. 由，
当 时，在（）上单调递增。
（2）由已知得，其定义域为（），
因为在其定义域内为增函数，所以即
而，当且仅当x=1时，等号成立，所以
21.证明　连结AC.
∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，
∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.
∴∠EAB＝∠ACD.
又四边形ABCD内接于⊙O，
所以∠ABE＝∠D.
∴△ABE∽△CDA.
∴＝，即AB·DA＝BE·CD.
∴AB2＝BE·CD.
22.
解：（1）---------2分
若，则，所以此时只有递增区间（---------4分
若，当
所以此时递增区间为：（，递减区间为：（0，-------------6分
（2），设
若在上不单调，则，
-------------10分
同时仅在处取得最大值，即可
得出：----------14分 的范围：