2021-2022学年人教五四新版九年级上册数学《第28章 二次函数》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年人教五四新版九年级上册数学《第28章
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣1
B．y＝
C．y＝（x﹣1）2﹣x2
D．y＝﹣2x2+1
2．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3
B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3
D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
4．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1
B．k≤1且k≠0
C．k＜﹣1
D．k≥﹣1且k≠0
5．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图象经过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h的值可能为（　　）
A．1
B．3
C．5
D．7
6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣2x﹣3
B．y＝x2+2x﹣3
C．y＝x2﹣2x+3
D．y＝2x2﹣3x﹣3
7．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3
B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3
D．y＝2（x﹣2）2+3
8．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣3）
B．（﹣1，﹣3）
C．（1，3）
D．（﹣1，3）
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（　　）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4
10．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9
B．8
C．1
D．
二．填空题
11．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　
　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为　
　．
13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是　
　．
14．已知是二次函数，则m＝　
　．
15．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是　
　．
16．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表格：
x
…
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
0
﹣1
0
3
…
那么该二次函数在x＝0时，y＝　
　．
17．抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标是　
　．
18．抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴的交点坐标是　
　．
19．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　
　．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为　
　．
三．解答题
21．抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
22．将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y＝﹣x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．
23．函数是关于x的二次函数，求m的值．
24．如图，抛物线y＝2x2+bx﹣2过点A（﹣1，m）和B（5，m）．
（1）求b和m的值；
（2）若抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．
①在a＞0的条件下，当﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；
②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．
26．已知二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0）．
（1）求b的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+3的图象（不要求列对应数值表，但要求尽可能画准确）．
27．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．
（1）若此函数为一次函数；
①m，k，n的取值范围；
②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；
③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；
（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数是反比例函数，故本选项错误；
C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．
故选：D．
2．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选：C．
3．解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：B．
4．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣l与x轴有交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0，
故选：D．
5．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，5）、（10，8）两点在抛物线上，
∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．
故选：D．
6．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
故选：A．
7．解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，
配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，
即y＝2（x﹣1）2+3．
故选：C．
8．解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3），
故选：A．
9．解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵把x＝1代入抛物线得：y＝a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3b+2c＜0，∴②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝a﹣b+c的值最大，
即把x＝m代入得：y＝am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm+b≤a，
即m（am+b）+b≤a，∴③正确；
∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，
则（a+c）2﹣b2＜0，
即（a+c）2＜b2，故④正确；
故选：D．
10．解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
二．填空题
11．解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
故答案为（x﹣1）2+2．
12．解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则
＝1，
解得，x＝3，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣1，x2＝3．
故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．
13．解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时y＞0，
∴当x＝2时y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④1﹣（﹣）＝＝，﹣1＝＝，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，＞，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，结论④正确．
综上所述：正确的结论有②④．
故答案为②④．
14．解：∵是二次函数，
∴m+2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝2，
故答案为：2．
15．解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1，
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
16．解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
∴对称轴为x＝2，
∴当x＝4时的函数值等于当x＝0时的函数值，
∵当x＝4时，y＝3，
∴当x＝0时，y＝3．
故答案是：3．
17．解：因为y＝（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）．
18．解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故答案为（0，3）．
19．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得，
a＝1，
函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，
展开得y＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
20．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，
方程无解．
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，
解这个不等式，即
0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝1，
∴t＝1．
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
三．解答题
21．解：∵y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴＝2，
解得，m＝﹣2，
∴y＝2x2﹣8x﹣7＝2（x﹣2）2﹣15，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣15），
即m的值是﹣2，抛物线的顶点坐标是（2，﹣15）．
22．解：∵将抛物线y＝mx2+n向下平移6个单位长度，得到y＝mx2+n﹣6，
∴m＝﹣1，n﹣6＝3，
∴n＝9，
∴原抛物线y＝﹣x2+9，
∴顶点P（0，9），
令y＝0，则0＝﹣x2+9，
解得x＝±3，
∴A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∴S△PAB＝AB?OP＝×6×9＝27．
23．解：由题意可知
解得：m＝2．
24．解：（1）∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝2x2+bx﹣2上的两点，
∴﹣＝，
解得，b＝﹣8，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣8x﹣2，
把A（﹣1，m）代入得，m＝2+8﹣2＝8；
（2）由y＝2x2﹣8x﹣2可知，抛物线与y轴交点C的坐标为（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵A（﹣1，8）和B（5，8），
∴AB＝6，
∴S△ABC＝（2+8）＝30．
25．解：（1）把y＝0代入二次函数得：a（x2﹣2x﹣3）＝0即a（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵﹣2≤m≤2时，n的取值范围是﹣4≤n≤5，
∴n＝﹣4为二次函数的最小值，m＝﹣2时，n＝5，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）
把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得a﹣2a﹣3a＝﹣4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵D点坐标（4，0），PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为4，
当x＝4时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝5a，
∵D点坐标为（4，0），A点坐标为（﹣1，0）
∴AD＝5
∵PD＞AD
∴|5a|＞5，
∴a＞1或a＜﹣1．
26．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点（3，0），
∴9+3b+3＝0，
解得b＝﹣4；
（2）x＝﹣＝﹣＝2，
＝＝﹣1，
点的坐标为（2，﹣1）；
（3）令x＝0，得y＝3，与y轴的交点坐标为（0，3）；
令y＝0，得x＝1或3，与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
图象如图．
27．解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；
②当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2
当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1
③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+n
x＝3时，y有最大值为3k+n
当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+n
x＝3时，y有最小值为3k+n
（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2
对称轴为x＝﹣，
当﹣≤﹣2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5
当﹣2＜﹣＜2，即﹣4＜k＜4时，把x＝﹣，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）
当﹣≥2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．
所以实数k的值为±5．