7.3.2离散型随机变量的方差教案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册
7.3.2离散型随机变量的方差
教案
一、教学目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质.
二、教学重难点
1、教学重点
离散型随机变量的方差的含义.
2、教学难点
利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
三、教学过程
1、新课导入
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.
因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
2、探索新知
一、离散型随机变量的方差及其计算公式
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.
一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
设离散型随机变量的分布列如表所示.
…
…
考虑所有可能取值与的偏差的平方，，….
因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化.
.
方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质.
二、方差的性质
离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即.
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即.
一般地，可以证明下面的结论成立：.
三、方差的计算
例
抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量的分布列为，.
因为，，
所以.
四、方差的实际应用
例
投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示.
表1
收益X
/元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
表2
收益Y
/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值.
投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低.
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
，.
因为，所以投资股票A的期望收益较大.
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
，
.
因为和相差不大，且，
所以投资股票A比投资股票B的风险高.
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.
例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.
3、课堂练习
1.已知随机变量的分布列为
1
2
3
4
P
则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：，，故选C.
2.已知随机变量的分布列如下表，且，则______，________.
1
2
答案：；4
解析：由题意得，，.由期望公式得，..故.
4、小结作业
小结：本节课学习了离散型随机变量的方差与标准差的概念及其性质.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
7.3.2离散型随机变量的方差
1.离散型随机变量的方差与标准差：我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
2.方差的性质：离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即.
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即.
一般地，可以证明下面的结论成立：.