7.4.2超几何分布 教案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.4.2超几何分布
教案
一、教学目标
1.
通过具体实例，了解超几何分布；
2.
掌握超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
二、教学重难点
1.
教学重点
超几何分布模型，以及用它解决一些简单的实际问题.
2.
教学难点
利用超几何分布模型解决实际问题.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1
已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即.
问题2
如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？
（二）探索新知
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为.由古典概型的知识，得X的分布列为.
计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示.
X
0
1
2
3
4
P
0.71257
0.25621
0.02989
0.00131
0.00002
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
.
其中，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
例1
从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且因此甲被选中的概率.因此甲被选中的概率为.
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想，即.
实际上，由随机变量均值的定义，令，有.
因为，
所以.
例2
一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为.
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为.
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001），如表所示.
k
k
0
0.000
04
0.000
01
11
0.070
99
0.063
76
1
0.000
49
0.000
15
12
0.035
50
0.026
67
2
0.003
09
0.001
35
13
0.014
56
0.008
67
3
0.012
35
0.007
14
14
0.004
85
0.002
17
4
0.034
99
0.025
51
15
0.001
29
0.000
41
5
0.074
65
0.065
30
16
0.000
27
0.000
06
6
0.124
41
0.124
22
17
0.000
04
0.000
01
7
0.165
88
0.179
72
18
0.000
00
0.000
00
8
0.179
71
0.200
78
19
0.000
00
0.000
00
9
0.159
74
0.174
83
20
0.000
00
0.000
00
10
0.117
14
0.119
24
样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得
有放回摸球：.
不放回摸球：.
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近.
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
（三）课堂练习
1.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中随机抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由超几何分布的概率公式可知，所求概率为，故选D.
2.一盒中有12个乒乓球，其中9个新球，3个旧球，从盒中任取3个球来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：因为从盒中任取3个球来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数为，即旧球增加1个，所以取出的三个球为1个新球，2个旧球，所以，故选D.
3.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于(
)
A.
B.
C.
D.1
答案：C
解析：由题意，知的所有可能取值为0，1，2，服从超几何分布，
所以，
所以，故选C.
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生不超过1人的概率为_______________.
答案：
解析：设所选女生的人数为随机变量服从超几何分布，
则.
5.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列.
答案：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，则，解得，
所以白球的个数为5.
（2）X服从超几何分布，，
则.
所以，
，
因此随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
（四）小结作业
小结：
超几何分布的概念及均值；
超几何分布的应用.
作业：
四、板书设计
7.4.2
超几何分布
1.
超几何分布的概念；
2.
超几何分布的均值；
3.
超几何分布与二项分布的关系.