江苏省扬州市安宜高级中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试题

宝应县安宜高级中学2011-2012学年度第二学期期中考试
高 二 数 学 试 卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、复数的虚部为 ▲ .
2、设集合，，则 ▲ .
3、函数的定义域是 ▲ .
4、复数是纯虚数，则实数 ▲ .
5、命题“”的否定是 ▲ .
6、已知函数的图象过点A（11，12），则函数的最小值是 ▲ .
7、设是定义在上的奇函数，且当时，，则 ▲ ．
8、存在实数，使得成立，则的取值范围是 ▲ .
9、把函数的图象向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的3倍，而横坐标不变，得到图象，此时图象恰与重合，则= ▲ .
10、通过观察下述两等式的规律，请你写出一个（包含下面两命题）一般性的命题： ▲ .
① ②
11、已知是奇函数，当时，，且当时，恒成立，则的最小值为 ▲ .
12、若关于的不等式成立的一个充分非必要条件是“”，则实数的取值范围是 ▲ .
13、已知函数，若且，则的取值范围是 ▲ .
14．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，
即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R，值域是[0，]；
②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④ 函数在上是增函数；
则其中真命题是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本题满分14分）本题文科生做.在答题卡上第15题位置作答.
已知复数，若，求的值．
15、（本题满分14分）本题理科生做.从甲、乙两题任选一题作答，两题都答的，只计第一题的分数。
(甲) 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，AD∥BC, AB=BC=2, AD=4,
PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成角，E是PD的中点.
点H在AC上且EH⊥AC，求的坐标；
求AE与平面PCD所成角的余弦值；
(乙) (1)从1,3,5, 7中任选两个不同数字, 从2, 4 , 6中选一个数字,共可组成多少个无重复数字的三位数
(2) 求展开式中含的项.，并指出这一项的二项式系数。
16．（本题满分14分）
已知是复数，均为实数，
求复数；
若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17、（本题满分15分）
已知命题p：，命题q：. 若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围.
18.（本题满分15分）本题文科做.
已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．
(1)若方程有两个相等的实数根, 求的解析式；
(2)若的最大值为正数，求的取值范围．
18.（本题满分15分）本题理科做.
设，（、）。
（1）求出的值；
（2）求证：数列的各项均为奇数.
19、（本小题满分16分）
某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米。
（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值。
20．（本题满分16分）
已知函数，，其中是的导函数．
（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．
201204高二数学参考答案
一填空题（每题5分，计70分）
1、－4　　　　　　　2、 　 3、 　　　 4、－１
5、 6、8 7、-1 　　　　　　 8、或
９、　　　　　 10、 11、9
12、 13、 14、①②③
二、解答题
15、（本题满分14分）文科生做.
解：，-----------------------4分
，，-----------------------8分
且，-----------------------12分
所以 -----------------------14分
15、（本题满分14分）本题理科生做.
(甲)解(1) 以AB,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的坐标系。
则由条件知， ---------------2分
而：PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成角
∴, ∴ --------------4分
∴
设， ∴
由EH⊥AC得，，解得 --------------6分
∴所求 --------------7分
（2）由上得， 而，
∴, --------------9分
记平面PCD的一个法向量为，则且
解得 取 --------------11分
则， --------------13分
设AE与平面PCD所成角为，则，则所求的余弦值为--------------14分
(乙) 解：(1)从1,3,5, 7中任选两个不同数字, 有种不同选法，--------------2分
从2, 4 , 6中选一个数字有种不同选法， --------------4分
所以，共可组成：个无重复数字的三位数--------------7分
(2) 的展开式的第项为
--------------10分
令解得 --------------11分
所以，展开式中含的项是:
--------------13分
这一项的二项式系数为120. --------------14分
16、（本题满分14分）
解：（1）设
所以，； ---------------1分
---------------4分
由条件得，且，---------------6分
所以---------------7分
(2) -------------------10分
由条件得：，-------------------12分
解得 所以，所求实数的取值范围是-------------------14分
17、（本题满分15分）
解：由，知，
，， -------------------4分
，即． -------------------6分
又由，，得，
，-------------------10分
由题意， -----------------------12分
由“且”为真命题，知和都是真命题，
所以，符合题意的的取值范围是． ------------------------15分
18.（本题满分15分）文科生做。
解：（1）
∴ 所以 …………………………2分
①
由方程 ② ……………………4分
因为方程②有两个相等的根，所以，
即 ………………………6分
由于代入①得的解析式为
……………………………8分
（若本题没有舍去“”第一小问得6分）
（2）由
及 ……………………………12分
由 解得
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是 …15分
18.（本题满分15分）理科生做。
解（1）由，得，而、
所以，只有，………………………2分
类似可得，，…………………………5分
（2）证：（用数学归纳法证明）
（i）当时，易知，为奇数；……………………7分
（ii）假设当时，，其中为奇数；……………………8分
则当时，
HYPERLINK " " EMBED Equation.DSMT4 ，
所以， ……………………11分
又、，所以是偶数，
而由归纳假设知是奇数，故也是奇数. ……………………14分
综上（i）、（ii）可知，HYPERLINK " "的值一定是奇数． -------------------------------------15分
证法二：也可用二项式定理展开来证明，参照给分。略。
19．（本题满分16分）
解：（1）由已知，其定义域是．-----------------------3分
，
，
，其定义域是．-----------8分
（2）， -----------13分
当且仅当，即时，上述不等式等号成立，
此时，． -------------------------------------15分
答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．---------16分
20、（本题满分16分）
解：（1）由题意，得，----------------------2分
设，．
对中任意值，恒有，即，
即 ----------------------6分
解得．
故时，对满足的一切的值，都有；----------------------7分
（2），
①当时，的图象与直线只有一个公共点；----------------------8分
②当时，列表：
极大值 最小值
，
又的值域是，且在上单调递增，
当时，函数的图象与直线只有一个公共点．----------------11分
当时，恒有，
由题意，只要，即有函数的图象与直线只有一个公共点
即， ---------------------------14分
解得．
综上，的取值范围是． ---------------------------16分
注 意 事 项
1.本卷满分160分，考试时间为120分钟。
2.解答题的第15题、第18题，对 文理科 学生安排了不同的题，请按要求选做作答。
y米
x米
a
a
z
x
y