21.2.2 公式法 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
21.2解一元二次方程
21.2.2 公式法
一、单选题
1．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．4
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
3．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
4．关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　）
A．1 B． C． D．0
5．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
6．小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
8．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
9．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（ ）
A． B． C． D．7或8
10．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．下列方程一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
12．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）
14．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________．
15．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中说法正确的有______（填序号）．
16．如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数的图象上一动点，将Q绕点顺时针旋转到点P，连接，则的最小值_________．
17．王老师设计了一个如图所示的数值转换程序．
（1）当输入时，输出的值为______；
（2）当输出时，输入的值为_______．
18．如图，在等边三角形中，D是的中点，P是边上的一个动点，过点P作，交于点E，连接．若是等腰三角形，则的长是_________________．
三、解答题
19．解方程：
（1）解方程：；
解不等式组：．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
22．如图，直线，与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．
（1）______；点的坐标为______．
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的横坐标？
23．对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为7，百位与个位上的数字之和也为7，那么称为“上进数”．
(1)写出最小和最大的“上进数”；
(2)一个“上进数”，若，且使一元二次方程有两个不相等的实数根，求这个“上进数”．
参考答案
1．C
【详解】
解：由题意可知：△=4-4a=0，
∴a=1，
2．C
【详解】
∵a＝１，b=-3，c=4
而
∴一元二次方程没有实数根
3．D
【详解】
解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
4．D
【分析】
根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可.
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是0．
5．C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5?2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
6．C
【分析】
解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】
解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
7．D
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出的值，再代入求值即可得．
【详解】
解：由题意得：方程根的判别式，
整理得：，即，
则，
，
，
，
，
8．C
【详解】
解：由题可得：,
解得：且；
9．D
【详解】
①一边为腰一边为底，当4为底时，有
，解得，此时
解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去；
同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系
故m=7
②方程两根都为腰，此时
即，解得m=8
综上所述，m=7或8
10．A
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝，
∴PQ的最小值为．
故选：A．
11．D
【详解】
解：A. ,△=，故无实数解；
B. 由得，故无实数即；
C. ，故无实数即；
D. 由得，即x=．
12．A
【解析】
利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．
【详解】
解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；
②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；
③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；
④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．
13．0（答案不唯一）
【分析】
根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，
解得，
则的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
14．
【分析】
利用一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，解得，
故答案为：．
15．①②④
【分析】
根据一元二次方程实数根与根的判别式关系，以及求根公式，等式的性质等逐个排除即可．
【详解】
解：（1）若，则是方程的解
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知： ，故①正确；
（2）∵方程，有两个不相等的实根，
∴
∴
又∵方程的判别式
∴方程必有两个不相等的实根，故②正确
（3）∵是方程的一个根
∴
∴
若等式成立，但不一定成立，故③错误
（4）若是一元二次方程的根
则根据求根公式得：
或
∴或
∴ ，故④正确．
16．．
【分析】
取D(2，-2)，连接CD、DQ，作C′点与点C关于直线对称，连接QC′，则由题意可得△OCP≌△DCQ，CP=CQ=C′Q，所以当且仅当C′、Q、D共线时
PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q=DC′为最小．
【详解】
解：如图，取D(2，-2)，则CD⊥x轴，即CD⊥OC且CD=OC=2，
连结DQ，依题CQ顺时针旋转90得到CP，
∴∠QCP=90°且CQ=CP，
在△OCP和△DCQ中，
∴△OCP≌△DCQ(SAS)，
∴OP=DQ，
作C′点与点C关于直线对称，则有CQ=C′Q，
∴CP=CQ=C′Q，
故PO+PC=DQ+CQ=DQ+C′Q≥DC′，
当且仅当C′、Q、D共线时取等，
由题意可以得到A、B坐标分别为（0，4）、（8，0）
设C′坐标为（x，y），则由AC′=AC，BC′=BC可得：
解之可得C′为（2，0）（与C同，舍去）或，
∴DC′=
==
∴的最小值为．
17．3 -8
【详解】
解：（1）∵-4＜3，
∴当，时，，
故答案为：3；
（2）把M=5代入得
解得
∵8＞3
所以不合题意，舍去；
把M=5代入得
解得，
∵-1＜3,2＜3，
∴均不合题意，舍去；
综上所述，x=-8．
故答案为：-8
18．或或．
【详解】
解：过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为G、F，
∵AB=8，∠A=60°，D是的中点，
∴AG= ，，
同理，CF=2，，
设BP为 x，同理可得，BE=2x，PE=，
PG=6-x，EF=6-2x，
当DP=PE时，
，
解得，（舍去），；
当DP=DE时，
，
解得，（舍去），；
当DE=PE时，
，
解得，（舍去），；
故答案为：或或．
19．方程没有实数根
【分析】
首先去括号合并同类项，化为一般式，根据可知，方程没有实数根．
【详解】
解：去括号化简得：
，
，
∴方程没有实数根．
20．（1），；（2）
【详解】
解：（1），，，
△，
则，
解得：，；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
21．（1）见解析；（2）k=3
【分析】
（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．
【详解】
解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
22．（1），；（2）；（3）；（4），，
【详解】
解：（1）∵直线经过点，
，
解得：；
即直线的解析式为；
当y=0时，-3x+3=0，
解得，则；
故答案为：-3，（1,0）；
（2）设直线的解析式为，
∵经过点和点，
∴，
解得：，．
∴直线的解析式为：；
（3）设的面积的面积为；则，
的高为3，则；
（4）存在，
设点P的坐标为（x，），
分三种情况：
①当AP=BP时，点P在线段AB的垂直平分线上，
∵A（4,0），B（1,0），
∴点P的横坐标为：；
②当AP=AB=3时，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵，
∴，
解得x=；
③当AB=BP=3时，作PM ⊥x轴于点M，
∵，
∴
解得x=或x=4（舍去）；
综上，符合条件的点的横坐标是，，．
23．（1）最小上进数为1067，最大上进数为7700；（2）1265或2453或3641
【分析】
（1）根据题中的新定义“如果千位与十位上的数字之和为7，百位与个位上的数字之和也为7”即可求解；
（2）先将上进数用含a的式子表示出来，再结合一元二次方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，确定a的值即可求得这个上进数.
【详解】
解：（1）最小上进数为1067，最大上进数为7700，
（2）∵是上进数，
∴a+c=7，b+d=7,
∴c=7-a，d=7-b
∴=
=
=
∵b=2a
∴=1188a+77
∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴△=b2-4ac=16-4a＞0
∴a＜4，
∵a是正整数，
∴a=1或2或3
∴=1265或2453或3641
即这个上进数为1265或2453或3641
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