21.2.1 配方法 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
一、单选题
1．一元二次方程，配方后可形为（ ）
A． B．
C． D．
2．将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．把一元二次方程配成的形式，则、的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点
6．已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　）
A． B． C． D．不能确定
7．已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
9．对于两个实数，，用表示其中较大的数，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ）
A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3
C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β
11． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
12．已知方程可以配方成，则（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．4
二、填空题
13．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣______．
14．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方的结果是_____．
15．方程的根是___________．
16．设实数，，满足，则的最大值为__________．
17．已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为______．
18． 代数式x2＋4x＋7的最小值为____．
三、解答题
19．用配方法解一元二次方程：
已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．
21．解下列方程．
（1）；
（2）．
22．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或；
③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料，解决下面问题：
写出的两种不同形式的配方；
若，求的值；
若关于的代数式是完全平方式，求的值；
用配方法证明：无论取什么实数时，总有恒成立．
23．阅读与应用：
阅读1：
a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．
阅读2：
若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：
已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝　 　时，周长的最小值为　 　；
问题2：
汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．
(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；
(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．
参考答案
1．A
【分析】
把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可
【详解】
解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故选：A．
2．D
【分析】
两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】
解：，
配方得：，即．
3．D
【分析】
根据同底数幂的乘法，多项式除以单项式，配方法，分式的加减运算法则分别判断即可．
【详解】
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
4．D
【分析】
按照配方法把配成的形式即可解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
5．D
【分析】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．
【详解】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则=
==，
∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，
AC边上中线所在直线表达式为：，
又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是三条中线的交点，
故选D．
6．B
【分析】
利用作差法比较即可．
【详解】
根据题意，得
＝，
∵
∴
∴，
7．A
【分析】
先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．
【详解】
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
8．C
【分析】
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此进行判断即可．
【详解】
解：A、由原方程，得x2-2x=99，
等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得
（x-1）2=100；
故本选项正确，不符合题意；
B、由原方程，得x2+8x=9，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得
；
故本选项正确，不符合题意；
C、由原方程，得
，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方 ，得
；
故本选项错误，符合题意；
D、由原方程，得
3x2-4x=2，
化二次项系数为1，得
等式的两边同时加上一次项系数-的一半的平方，得
；
故本选项正确，不符合题意．
9．C
【解析】
根据题意则有x2=2x+1和-x2=2x+1，然后解一元一次方程即可．
【详解】
∵max（a，b）表示其中较大的数，
∴当x＞0时，max（x，-x）=x，
方程为x2=2x+1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2，
∴x-1=±，
∴x=1±，
∴x＞0，
∴x=1+；
当x＜0时，max（x，-x）=-x．
方程为-x2=2x+1
x2+2x+1=0，
（x+1）2=0，
∴x=-1，
故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+
10．B
【解析】
解方程得到x=1±，由m＞0，得到＞2，从而得到α= 1－＜－1，β= 1+＞3．
【详解】
x2-2x-3=m，（x－1）2=4+m，∴x－1=±，x=1±．
∵m＞0，∴＞2，∴α= 1－＜－1，β= 1+＞3，故α＜-1且β＞3．故选B．
11．D
【详解】
∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），
则
所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.
12．A
【分析】
将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n的值，由此可求得答案．
【详解】
解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，
故选：A．
13．3
【分析】
利用配方法的步骤整理即可．
【详解】
解：x2﹣4x+1
＝x2﹣4x+4﹣3
＝（x﹣2）2﹣3，
故答案为3，
14．（x+1）2＝2．
【分析】
先移项，再根据完全平方公式配方，最后得出答案即可．
【详解】
解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
配方得：x2+2x+1＝1+1，
∴（x+1）2＝2，
故答案为：（x+1）2＝2．
15．
【分析】
根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根．
【详解】
解：∵．
∴配方得出，
，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】
先将已知等式变形可得，然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．
【详解】
解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=
=
=
∵
∴≤
∴的最大值为
故答案为：．
17．8
【解析】
利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【详解】
，
，
，
，，
边长c的范围为．
边长c的值为奇数，
，
的周长为．
故答案为：8．
18．3
【分析】
配方可求最小值.
【详解】
x2＋4x＋7=(x+2)2+3,故(x+2)2+3.故最小值是3.
【点睛】
配方法把代数式化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值.
19．
【分析】
根据配方法即可求出答案．
【详解】
或
20．，
【分析】
先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
【详解】
解：∵；
∴；
∴；
∴；
∵是不等式的最小整数解，
∴；
∴关于的方程；
∴；
∴；
∴；
∴，．
21．（1），；（2）原方程无解．
【分析】
（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验即可．
【详解】
（1）解：
，．
（2）解：方程两边乘，得，解得．
检验：当时，，因此不是原方程的解．
所以，原方程无解．
22．（1）①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：； ；或；（4）详见解析．
【分析】
（1）根据题目中所给的方法解答即可；（2）把化为，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得的值；（3）根据完全平方式的特点，结合根的判别式解答即可；（4）因＞0，由此即可解答.
【详解】
(1)①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：；
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
根据题意得，
解得或；
证明：，
∵，
∴．
23．问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.
【分析】
（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；
（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．
【详解】
(1)∵x+≥2＝4，
∴当x＝ 时，2(x+)有最小值8．
即x＝2时，周长的最小值为8；
故答案是：2；8；
问题2：，
当且仅当，
即x＝90时，“＝”成立，
所以，当x＝90时，函数取得最小值9，
此时，百公里耗油量为，
所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L．
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