21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
21.2解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．若一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
2．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3
3．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
4．定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
5．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25
7．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
8．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
9．关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0
10．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
11．若a≠b，且则的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
12．设为互不相等的实数，且，，则的值为………………………………………………………………（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
二、填空题
13．方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为_____．
14．若x＝3是一元二次方程x2＋mx＋6＝0的一个解，则方程的另一个解是________．
15．已知，关于的方程根都是整数；若为整数，则的值为______．
16．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作，则的值为_________．
17．已知对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算：，如，已知，是一元二次程的两个不相等的实数根，则_______．
18．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于_____．
三、解答题
19．已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
21．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
23．如图1，，都是等腰直角三角形，，，，且，点在上，连接，．
　　　　　
（1）如果；
①求的值；
②若，是关于的方程的两根，求；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转．
①在上方，与、、同一平面内找一点，使四边形的面积四边形与四边形的面积四边形相等，并简要说明寻找点的作法；
②若四边形，直接写出的长 ．
参考答案
1．C
【详解】
将方程化为一般式：
，
根据两根之积公式，
2．D
【详解】
由根与系数的关系可知，，
∵一个根为-2，
∴另一根为，
3．D
【详解】
解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
整理得出：，
解得：，
4．C
【详解】
解：∵
∴
∵方程的一个根是，设另一个根为，则有：

解得，
5．C
【详解】
∵，
∴，
∴变形为，
∴△＝
＝＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
6．A
【详解】
解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，
根据韦达定理：a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，
根据韦达定理：2a＝10，
解得a＝5，
所以该等腰三角形的周长是14．
7．A
【详解】
解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2?(cd)2012，
又x1x2=（cd）2012-2012，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2?(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
8．A
【详解】
解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°，
在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，
∵DE＝BE＝a，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∴CE＝BE＝a，
∴AC＝AE+CE＝c+a，
∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，
∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．
9．D
【详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
那么（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
，x1x2=9，
即，
解得，
综上所述，a的取值范围为：.
10．C
【解析】
根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论．
【详解】
是方程的两个实数根，，即，则．
11．B
【详解】
解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
12．A
【详解】
根据题意可得：，我们把看作以上方程的两个不同的根，故，=-1.故选A
13．2
【详解】
解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝2．
故答案为：2．
都为常数)中，两根，与系数的关系为，”．
14．x＝2
【详解】
设方程的另一根为a，
∵x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根，
∴3a=6，解得a=2，
即方程的另一个根是x=2，
故答案为x=2．
15．-1，0，1
【详解】
解：当时，方程为，此时解为，符合题意；
当时，，
∴，，
∵和k均为整数，
∴或1，
综上所述，k的值为-1，0，1，
16．．
【详解】
由韦达定理得：，
原式，
∵
∴原式
，
故答案为：．
17．
【详解】
由，是的两个不相等的实数根可得：，
故
18．0或16．
【详解】
设两个根为x1，x2，且x1≥x2．
由韦达定理得：，
从上面两式中消去a得：
x1x2+x1+x2=6，∴（x1+1）（x2+1）=7，∴或或，∴a=x1x2=0或16．
故答案为0或16．
19．的值为1.
【详解】
解：由已知定理得：，，
∴，
即，解得：，
当时，△=，
∴舍去；
当时， △=，
∴的值为1．
20．（1）；（2）
【详解】
（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
21．（1）；（2）
【分析】
（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】
解：（1）根据题意得解得
（2）当时，一元二次方程化为，
由根与系数关系得，
联成方程组得，解得
22．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）设方程的两根是，，得出，，代入，，求出其结果是，求出即可；
（2）得出，，把变形为，代入后得出，推出，求出即可．
【详解】
解：（1）证明：设方程的两根是，，
则，，
，
，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2），
对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，
．
23．（1）①；②；（2）①说明寻找点F的作法见解析；②．
【分析】
（1）①延长交于，根据勾股定理建立等式即可求出答案；
②由根与系数的关系求出a+b及ab，利用①即可用m分别表示a与b，再整理求出m即可得到答案；
（2）①取的中点，连接并延长至，连接、、、，则四边形为平行四边形，且CF∥DE，且CE∥DF，根据平行四边形的性质得到，即可证得结论；
②利用平行四边形的性质根据SAS证明，得到为等腰直角三角形，根据四边形，求出即可求出答案.
【详解】
（1）解：①如图1，延长交于，
，，
在中由勾股定理得，，
又∵，
∴，
∴或，
又∵，
∴；
②由根与系数的关系，，
由，，
解得，，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，
当时，方程为，这个方程有两个不相等的正根，
∴符合题意，
∴；
（2）解：①如图2，取的中点，连接并延长至，使OE=OF，连接、、、，则四边形为平行四边形，且CF∥DE，且CE∥DF，
∴
∴四边形四边形；
②∵CE∥DF，
∴∠EFC=∠DEF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BCF+∠BAF=∠BAF+∠BAE=180°，
∴∠BCF=∠BAE，
∵CF=DE=AE，BC=BA，
∴，
∴EB=FB，∠ABE=∠CBF,
∴∠EBF=90°，
∴为等腰直角三角形，
∵四边形，
∴，
∴．
∴．
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