21.3 实际问题与一元二次方程 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
21.3 实际问题与一元二次方程
一、单选题
1．主题为“绿色城市、健康生活”的世界园艺博览会将于2021年4月至10月在枣林湾举行．世园会的某纪念品受到热烈欢迎，从原价50元连续两次涨价达到72元，如果每次涨价的百分率都是x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为400cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值
C．有两个不相等的的值 D．无法确定
5．用总长的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是一个矩形，窗框的总面积为（材料的厚度忽略不计）.若设等腰直角三角形的斜边长为，则下列方程符合题意的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有名学生，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
10．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
11．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
12．如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：，其中正确的序号是(　　)
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
二、填空题
13．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．
14．新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．
15．劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
16．在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为厘米．
17．观察下列图形，第1个图形中一共有4个小圆圈，第2个图形中一共有10个小圆圈，第3个图形中一共有18个小圆圈，…，第_____个图形中一共有54个小圆圈……按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数是___________．
18．已知：如图，等腰直角，，，点D为外一点，，连接CD，，，BC的长为________．
三、解答题
19．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
20．突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，在复工复产后商场对某种商品价格进行了调整，将该种商品的进价提高了8元定为销售价格，此时该商品8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件．经市场调查发现：如果该商品每件再涨价1元，每天就会少售出5件．
（1）该商品的售价和进价各是多少元？
（2）若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，则该商品应再涨价多少元？
21．苏科版九上数学p31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　　，x3＝　　；
（2）用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）拓展：若实数x满足x2+＝2，求x+的值
22．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
参考答案
1．D
【详解】
解：每次涨价的百分率都是，则第一次涨价后价格为元，第二次涨价后价格为
所以
2．B
【详解】
根据题意，底面矩形的长为：，宽为：，根据题意得：
3．A
【详解】
设平均每次降价的百分率为
第一次降价后的价格为：
第二次降价后的价格为：
∴可列方程
4．C
【详解】
解：由题意，得，
整理得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，，
5．D
【详解】
解：设等腰直角三角形的斜边长为，则等腰直角三角形的直角边长为，矩形的宽为，由此得到
，即为，
6．C
【详解】
解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
7．B
【详解】
解：∵全班有x名学生，
∴每名学生应该送的相片为(x-1)张，
∴x(x-1)=2550.
故选：B．
9．B
【详解】
解：通过观察图形可知：
第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，
前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，
其中n为正整数，
∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=600时，解得： （舍），
当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，
10．B
【详解】
解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：，
（②-①）÷3，得：y-x+1=0，
∴x=y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，
整理，得：y2-2y-15=0，
解得：y1=5，y2=-3（舍去），
∴x=6．
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+
（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．
11．B
【分析】
设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．
【详解】
设应降价x元
则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800
解得：x=4或x=10
∵要尽快较少库存，∴x=4舍去
故选：B．
12．A
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD
∵△AEF为等边三角形
∴AE=AF，∠EAF=60°
在Rt△ABE和Rt△ADF中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF
∴BE=DF，∠BAE=∠DAF
∴BC－BE=CD－DF
∴CE=CF，故①正确；
∴∠BAE=∠DAF=（∠BAC－∠EAF）=15°
∴∠AEB=90°－∠BAE=75°，故②正确；
在Rt△ABE中，∠BAE≠30°
∴AE≠2BE
∴EF≠BE＋DF，故③错误；
设正方形的边长为x，
∵CE=CF，∠C=90°，EF=2
∴△CEF为等腰直角三角形
∴∠CEF=45°
∴CE=
则BE=BC－CE=x－
在Rt△ABE中，AB2＋BE2=AE2
∴x2＋（x－）2=22
解得：x1=，x2=（不符合实际，舍去）
∴=，故④正确．
综上：正确的有①②④．
13．24
【详解】
设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染，根据题意可得：
解得：（不符题意，舍去）
故答案为24
14．50.7（1+x）2=125.6
【详解】
解：依题意，得：50.7（1+x）2=125.6．
故答案为：50.7（1+x）2=125.6．
15．
【详解】
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
16．
【详解】
设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为秒，
点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为秒，
因此，分以下三种情况：
（1）当点Q到达点C之前，即时，则厘米，厘米，
厘米，
厘米，
则在中，，即，
整理得：，
解得或（不符题设，舍去）；
（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即时，则厘米，
由得：，
整理得：，
解得或（均不符题设，舍去）；
（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即时，
则厘米，不符题意；
综上，经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
故答案为：．
17．6
【详解】
观察题图得第1个图形有（个）小圆圈，
第2个图形有（个）小圆圈，
第3个图形有（个）小圆圈，…，
第n个图形有个小圆圈．
令，
解得，（舍去）．
18．
【详解】
解：过作于，过作交的延长线于，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
设，，
在中，，即：，
解得：；（不合题意，舍去）．
，，
，
．
19．（1）养鸡场的宽是10m，长为15m；（2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析
【分析】
（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．
【详解】
解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
20．（1）售价32元/件，进价24元/件；（2）3元
【分析】
（1）根据题目，设出未知数，列出一元一次方程即可求解；
（2）根据题目：利润=每件利润×销售数量，列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：（1）设商品的进价为每件元，则售价为每件元，
由题意可得：，
解得，
∴，
答：商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件；
（2）设该商品应再涨价元，
由题意可得：，
解得：或，
∵每天所得的销售利润为2035元时，且销售量尽可能大，
∴，
答：该商品应再涨价3元．
21．（1）-2，1；（2）x＝3；（3）4
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）把无理方程化为整式方程x2﹣2x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；
（3）先表示得到（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，利用因式分解法得到x+＝4或x+＝﹣1，由于x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，从而得到x+的值为4．
【详解】
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0，
x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；
故答案为0，﹣2，1；
（2）两边平方得2x+3＝x2，
整理得x2﹣2x﹣3＝0，
因式分解得
解得x1＝3，x2＝﹣1，
经检验，x＝3为原方程的解；
（3）＝2，
,
，
或，
∵化为x2+x+1＝0，△=1-4=-4,此方程没有实数解舍去，
∴x+的值为4．
22．（1）10%；（2）13.31万
【分析】
（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；
（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．
【详解】
（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
（2）（万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
23．（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8．
【分析】
（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.
【详解】
（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴S△ABC＝×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC与△PAD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，
∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，
解之，得t1＝2，t2＝4；
（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，
∴PQ＝2t，
①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，
解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，
解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），
③如图3，当3≤t≤6时，S＝ 6×6﹣t2＝8，
解得：t1＝2，t 2＝﹣2（不合题意，舍去），
综上，t的值为或2时，重叠面积为8．
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