22.1.1 二次函数 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
22.1二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
一、单选题
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数：（1）y＝3x2﹣+1；（2）y＝；（3）y＝1﹣x2；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝+x；（6）y＝x2﹣（x﹣1）x．属于二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
4．若函数是二次函数，那么的值是（ ）
A．2 B．-2或2 C．-2 D．0或2
5．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
6．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．关于二次函数，以下结论：①抛物线交轴有两个不同的交点；②不论取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交轴于、两点，若，则；④抛物线的顶点在图象上；⑤抛物线交轴于点，若是等腰三角形，则，，．其中正确的序号是（ ）
A．①②⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．②④
8．已知函数y=（m2+m）+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m ≠-1 C．m≠0，且m≠-1 D．m=-1
9．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
10．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
11．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
12．如果函数是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．＝﹣2 D．为全体实数
二、填空题
13．已知函数是二次函数，则的取值范围是__________．
14．二次函数的图象经过原点，则__________．
15．如图，正方形的边长为2，与负半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的值为_．
16．某二次函数的图像的顶点坐标（4，-1），且它的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同，则这个二次函数的解析式为________
17．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________.
18．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．
三、解答题
19．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A (3，0)，B (﹣1，0)，求抛物线的解析式．
已知是关于的二次函数，试确定的值
21．抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
22．已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点
（1）填空：b＝　 　（用含有a的代数式表示）；
（2）若a＝﹣1
①点P为抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线y＝﹣x+3于点M，当点P在第一象限内时，是否存在一点P，使△PCB面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②当m≤x≤m+3时，y的取值范围是2m≤y≤4，求m的值．
23．某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30时，再次自动加热水箱中的水至60，加热停止；当水箱中的水温下降到30时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度，（单位：）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整：
（1）小宇记录了从初始温度20第一次加热至设定温度60，之后水温冷却至保温温度30的过程中，随的变化情况，如下表所示：
接通电源后的时间（） 0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 …
水箱中水的温度（） 20 30 40 60 51 45 40 36 33 30
①请写出一个符合加热阶段与关系的函数解析式______________；
②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间为________．
（2）根据上述的表格，小宇画出了当时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当时的函数图象．
已知适宜人体沐浴的水温约为，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________．
参考答案
1．C
【详解】
解：A、y=3x-1是一次函数，不符合题意；
B、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，符合题意；
D、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
2．B
【详解】
解：由题可得，属于二次函数的为：（2）y＝；（3）y＝1﹣x2；共2个，
3．D
【详解】
解：由题意得，
与之间满足的函数关系是二次函数，
4．A
【详解】
∵函数是二次函数，
∴且，
∴
5．A
【详解】
解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
6．A
【详解】
y＝2x﹣1是一次函数；
y＝﹣2x2﹣1是二次函数；
y＝3x3﹣2x2不是二次函数；
④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；
y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；
故二次函数有1个；
7．D
【解析】
令，利用该一元二次方程的△即可判断①的正误；当x=1时，方程中变化的参数k会被“抵消”，则抛物线总是会经过一个定点，由此判断②；可直接代入k=4来验证③；求出顶点坐标，然后代入，来判断④；可采取直接代入进行验证，选择较容易的0和1先代入，当k=1时，不是等腰三角形.
【详解】
解：△=k2-4k+4=(k-2)2≥0，当k=2时，抛物线与x轴只有1个交点，①错误；
当x=1时，y=1-k+k-1=0，即抛物线过定点（1,0），②正确；
当k=4时，y=x2-4x+3，则抛物线与x轴的交点为：x2-4x+3=0，解得x1=3，x2=1，则AB=3-1=2，故③错误；
二次函数的顶点为（，），代入进行验证：
当x=时，，故④正确；
当k=1时，，解得抛物线与x轴的两个交点为：（0,0）、（1,0），此时不是等腰三角形，故⑤错误.
8．C
【详解】
由y=（m2+m）+mx+4为二次函数，得m2+m≠0，解得m≠0，m≠-1，
9．C
【详解】
A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，
10．C
【详解】
解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
11．B
【详解】
由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
12．C
【详解】
解：由题意得：m-2≠0，，
解得：m=-2，
13．
【详解】
解：∵函数是二次函数
∴，解得：
故答案为：
14．3
【详解】
解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
15．
【详解】
如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴∠BOA=45°，OB=，
∵AC与x轴负半轴的夹角为15°，
∴∠AOD=45°﹣15°=30°，
∴BD= OB= ，OD= = = ,
∴点B的坐标为（,）,
∵点B在抛物线的图象上，
则：，
解得：，
故答案为
故答案为：．
16．y=-(x-4)2-1
【详解】
试题分析：根据题意，可由二次函数的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同，设函数的解析式为y=-（x-a）2+h，可直接代入得到y=-(x-4)2-1.
故答案为：y=-(x-4)2-1.
17．
【分析】
将点代入，得，再将x与y的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k的取值范围.
【详解】
将点代入，
得36a+k=2，
∴，
当时，当时得，
解得，
∴，
故填.
18．－1
【详解】
由于抛物线y=（m2-2）x2+2mx+1的对称轴经过点（-1，3），
∴对称轴为直线x=-1，x==-1，
解得m1=-1，m2=2．
由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2-2=2＞0，不合题意，应舍去，
∴m=-1．
故答案为-1.
19．y＝﹣x2+2x+3
【分析】
直接利用交点式写出抛物线解析式．
【详解】
解：抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)(x+1)，
即y＝﹣x2+2x+3．
20．
【详解】
解：根据题意得，，解得，，
∵，即，
∴．
21．（1）A(﹣2，0)，B(2，0)；（2）y＝x2﹣4
【分析】
（1）通过解方程mx?﹣4m＝0可得A、B点的坐标；
（2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．
【详解】
解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
22．（1）﹣3a﹣1；（2）①P（ ，）；②m的值为0或﹣．
【分析】
（1）直线经过B、C两点，先求出两点坐标，再带入抛物线解析式中求出表达式，然后再得到结果（2）若a=-1时，先写出抛物线解析式，然后根据条件求点P的坐标，再根据已知的m的范围，对照函数图象，求出m的值.
【详解】
解：（1）直线y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3，
∴B（3，0）、C（0，3），
∵抛物线过B（3，0）、C（0，3），
∴解得：b＝﹣3a﹣1，
故答案为﹣3a﹣1．
（2）若a＝﹣1，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
①假设存在点P（x，﹣x2+2x+3）使得△PCB的面积最大，
∴M（x，﹣x+3），
∴PM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∵S△ABP＝S△PMC+S△PMB＝PM?OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x2﹣3x）
＝﹣（x﹣）2+，
当点P（，）在第一象限，此时△PBC的面积最大，
故存在点P的坐标为：P（ ，），△PBC的面积最大．
②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，有最大值4，
∴由题意可知m≤1，m+3≥1
当m＝﹣是x＝m和m+3对应的函数值相等，
当﹣＜m＜1时，2m＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3，
解得m1＝0，m2＝﹣6（不合题意舍去），
当﹣2＜m＜﹣时，﹣m2+2m+3＝2m，
∴m＝（舍）或m＝﹣
故m的值为0或﹣．
23．（1）①；②；（2）见详解；（3）否；加热至9点30分的温度为，不在人体适合的温度范围内．
【分析】
（1）①根据表格数据特点，应用待定系数法求解即可；②根据表格数据先确定从加热至需要的时间，再将所得时间加上第一次加热至保温的时间即得；
（2）根据加热温度变化规律可知从加热至需要，即可确定点，
（3）根据表格数据特点，第一次加热需要20分钟，之后每18分钟一次循环，即可确定早上9点30分对应第一次加热的时间段．
【详解】
（1）①当时，设解析式为：
将代入并联立得：
，解得：
∴当时，
当时，设解析式为：
将 代入并联立得：
解得：
∴当时，
∴第一次加热阶段与关系的函数解析式为：
故答案为：
②根据表格数据可知从加热至需要
∴当第二次加热至设定温度60时，距离接通电源的时间为
故答案为：．
（2）如下图：
（3）从早上8点至早上9点30分，总共用时90分钟，且第一次加热需要20分钟至保温温度，第一次以后每18分钟循环一次．
∵，即最后一次重新加热至9点30分对应第一次的第18分钟的温度：．
∴在上午9点30分时，热水器的水温不适合他沐浴．
故答案为：否，加热至9点30分的温度为，不在人体适合的温度范围内．
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