22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
22.1二次函数的图像和性质
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质
一、单选题
1．抛物线y＝5（x﹣6）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（6，2） B．（6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
2．关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
3．已知二次函数的图象经过点，，若，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线（为正整数），若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线（为正整数），若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是（ ）
A．8 B．9 C．11 D．10
8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为（　　）
A． B．2 C． D．
9．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，.，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为(　　)
A． B． C．4 D．3
10．如图，点、、、是正方形四条边(不含端点)上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是(　　)
A． B． C．D．
11．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
12．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是(　　)
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
二、填空题
13．抛物线y＝﹣2（x＋1）2﹣3的顶点坐标是_____．
14．在抛物线图象上有三点，则的大小关系是_______
15．已知一个二次函数的图象形状与抛物线相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的解析式为_____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A从点出发向原点O匀速运动，与此同时点B从点出发，在x轴正半轴上以相同的速度向右运动，当点A到达终点O时，两点同时停止运动．连接，以线段为边在第一象限内作正方形，则正方形面积的最小值为____________．
17．如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线交于点A，B，以线段为对角线作菱形，使得，则菱形的面积最小值为______．
18．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
三、解答题
19．利用配方法把二次函数y＝﹣x2+4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．
20．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
21．A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：
到C地 到D地
A果园 每吨15元 每吨12元
B果园 每吨10元 每吨9元
（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为____吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为____元；
（2）设总运费为y元，请你求出y关于的函数关系式；
（3）求总运输费用的最大值和最小值；
（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w=-(x-25)2+4360，则当x＝___ 时，w有最 __ 值（填“大”或“小”）．这个值是 ___ ．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的取值范围．
23．如图，二次函数的图象与x轴相交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段上一点（不与点O，C重合），以为边向上作正方形，连接，设点D的横坐标为m．
（1）当时，______，
当时，_______，
当时，________；
（2）根据（1）中的结果，猜想的大小，并证明你的猜想；
（3）当时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与n满足的关系式．
参考答案
1．B
【详解】
解：∵抛物线y＝5（x﹣6）2﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（6，﹣2），
2．D
【详解】
解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
3．D
【详解】
解：∵y=a（x-m）2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，
∴当抛物线上的点与直线x=m的距离越小，对应的y值就越大，
∵A（-1，p），B（3，q），且p＜q，
∴B点到直线x=m的距离小于A点到直线x=m的距离，
∴m≥3，或m+1＞3-m，
解得m＞1，
而只有＞1，
4．B
【详解】
解：设C1和Cn的顶点所在直线解析式为y=kx+b，
∵C1和Cn的顶点的连线平行于直线y=10x，
∴k=10，y=10x+b，
抛物线y=（x-n）2+n2的顶点坐标为（n，n2），
当n=1时，顶点为（1，1），
将（1，1）代入y=10x+b，
解得b=-9，
∴y=10x-9，
将（n，n2）代入解析时可得：n2=10n-9，
解得n=1（不合题意舍去）或n=9，
∴n=9．
5．C
【详解】
解：二次函数的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
6．A
【详解】
解：∵
∴该函数的对称轴为x=-1
∴当x＜-1，y随x的增大而增大；当x＞-1，y随x的增大而减小；且距x=-1距离越远，y越小
∵-1＜1＜2
∴y1＞y2
∵|-1-(-2)|=1＜|-1-1|=2
∴y3＞y1
∴．
7．B
【分析】
将x=1代入抛物线解析式，得到C1的顶点坐标为（1,1），设直线的解析式为+b，将点C1的坐标（1,1）代入求出直线的解析式为-9，再将Cn的顶点坐标为（n，）代入，求出n的值即可．
【详解】
解：当x=1时，抛物线C1的顶点坐标为（1,1）
∵和的顶点的连线平行于直线，
∴设直线的解析式为+b，将点C1的坐标（1,1）代入，得10+b=1，
解得b=-9，
∴直线的解析式为-9，
将抛物线Cn的顶点坐标为（n，）代入，得，
解得n=1或n=9
8．A
【详解】
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
9．B
【详解】
解：连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，

∴∠MPN=60°+30°=90°，
设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a，，
∴ ，
∴当 时，点M，N之间的距离最短，最短距离为 ，
10．A
【详解】
解：设正方形ABCD的边长为m，则m>0，
∵DＨ=x，DＨ=AＥ＝BF=CG
∴CG=x, CH=m-x,
∴
∵四边形的面积为=
∴y=
∴y与x的函数图像是A;
11．A
【详解】
由二次函数y＝x2+k得抛物线开口向上，排除B；
根据一次函数y＝﹣kx+2，得直线与y轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D；
根据A、C可知，抛物线交y轴于负半轴，所以k＜0，故选A.
【点睛】
本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.
12．B
【详解】
抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），
∴3=a（1-4）2-3，
解得：a=，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x-4）2-3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
13．（﹣1，﹣3）
【详解】
解：抛物线y＝﹣2（x＋1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
14．
【详解】
解：在二次函数，对称轴，
在图象上的三点，，，，，
，
则、、的大小关系为：．
故答案为：．
15．y＝?4x2＋16x?13或y＝4x2?16x＋19．
【分析】
根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为y＝a（x?2）2＋3，由形状与抛物线y＝4x2相同可得出|a|＝4，代入后展开即可得出结论．
【详解】
解：∵二次函数的图象顶点坐标为（2，3），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x?2）2＋3．
∵形状与抛物线y＝4x2相同，
∴|a|＝4，
∴该二次函数解析式为y＝?4（x?2）2＋3或y＝4（x?2）2＋3，
即y＝?4x2＋16x?13或y＝4x2?16x＋19．
故答案为：y＝?4x2＋16x?13或y＝4x2?16x＋19．
16．32
【详解】
解：由题意可得，NB=MA，则AO+OB=8，
设AO=x，则OB=8-x，
∵S正方形ABCD=AB2=AO2+OB2=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，
∴当x=4时，正方形ABCD的面积取得最小值32，
17．
【分析】
如图，连接交于点M，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线于A，B两点，得出，可得，即可求出当时，的最小值为．根据，四边形为菱形，得出为等边三角形，，且与互相平分，求出，．根据勾股定理求出DM，即可求出CD，即可求出菱形的面积最小值．
【详解】
如图，连接交于点M．
∵过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线于A，B两点，
∴．
∴，
∴当时，的最小值为．
∵，四边形为菱形，
∴为等边三角形，，且与互相平分，
∴，．
在中，，
∴，
∴菱形的面积最小值为，
知识点灵活运用是解题关键．
18．①③④
【详解】
∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），
∴2+n=3，即n=1；
∴y2=（x﹣3）2+1，
把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误；
由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确；
∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3），
∴，
解得 ，
∴.
令y1=3，则，
解得x1=-5，x2=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y2=3，则（x﹣3）2+1=3，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
19．
【详解】
解：

所以把二次函数化成的形式为：．
20．（1），M (1，-2)；（2）
【详解】
解 （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
21．（1）（40-x），12（40-x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值为1110元，最小值为1050元；（4）25，大，4360
【分析】
（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是（40-x）吨．运输费用=吨数×每吨的运费．
（2）总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用．
（3）总运费与x是一次函数关系，由于0≤x≤30，可计算出总运费的最大值和最小值．
（4）利用二次函数的性质，求出函数的最值．
【详解】
解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，
从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40-x）吨．
故答案为：（40-x），12（40-x）；
（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，运费为每吨12元；
从B果园运到C地（30-x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为每吨9元；
所以总运费为：y=15x+12（40-x）+10（30-x）+9（30+x）
=2x+1050；
（3）因为总运费y =2x+1050，
∵，
∴函数值随x的增大而增大，
由于0≤x≤30，
∴当x=30时，有最大值2×30+1050=1110元，
当x=0时，有最小值2×0+1050=1050元；
（4）w=-(x-25)2+4360，
∵二次项系数-1＜0，
∴抛物线开口向下，
当x=25时，w有最大值．最大值时4360．
故答案为：25，大，4360．
22．（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣
【分析】
（1）将点(3，3)代入解析式即可求解；
（2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标；
（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论．
【详解】
解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3,
∴b＝-3a+1；
（2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a，
∴B(-4a，4)，
（3）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵A(1，4)，B(-4a，4)，
∴点A、B所在的直线为y＝4，
由（1）得b＝1-3a，
则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x，
当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论：
①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时，
则或，
方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，
即（1﹣3a）2+16a＝0，
解得a1＝，a2＝，
当a1＝时，（不符合题意），
当a2＝﹣1时，，则1≤≤-4a成立，
②当抛物线经过点A时，
即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4，
解得a＝；
∴a＜时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当a＝-1或a＜-时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
23．（1）；8；；（2）．证明见解析；（3）当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有和．
【分析】
（1）令，解得，求出点A的坐标为，令，求出点B的坐标为，再表示出D,E的坐标，再根据k,m的值代入求出坐标，再利用割补法即可求解面积；
（2）把k,m当做常数，利用割补法即可求出；
（3）根据，求出，再根据平行四边形的性质分三种情况讨论即可求解．
【详解】
（1）令，
解得，
∴点A的坐标为．
令，则，
∴点B的坐标为．
∵点D的横坐标为m，
∴点E的坐标为，点D的坐标为．
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
．
故答案为；8；．
（2）．证明：由（1）知，
．
（3）设点P的坐标为．
∵，∴．
当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：
①当为对角线时，令对角线的交点为M，如图（1）所示．
∵四边形为平行四边形，
∴点M平分，点M平分．
∵，
∴，
即．
②当为对边，且点P在点E的左侧时，延长，过点P作延长线于点N，如图（2）所示．
∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∵，
∴，即．
③当为对边，且点P在点E的右侧时，延长，过点P作于点N，如图（3）所示．
∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∴．
∵．
∴，
即．
综上可知：当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有和．
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