22.1.4 二次函数y=ax2+bx+k的图像和性质 课时达标检测（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2021年九年级上册数学同步练习卷
22.1二次函数的图像和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+k的图像和性质
一、单选题
1．二次函数的最小值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2．将抛物线向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，当时，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4．函数的图像可以由函数的图像通过如下平移得到（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平多1个单位
5．若坐标平面上二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，x的取值范围是
7．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．
9．定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线交轴分别于点，，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的是（ ）
①线段的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有4个．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
12．如图，A(0，1)，B(1，5)，曲线BC是双曲线的一部分．曲线AB与BC组成图形G ．由点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．若点P(2020，m) ，Q( x，n )在该“波浪线”上，则m的值为 ，n的最大值为 （ ）
A．m = 1，n = 1 B．m = 5，n = 1 C．m = 1，n = 5 D．m = 1，n = 4
二、填空题
13．二次函数的图象开口方向是_______（填“向上”或“向下”）．
14．已知函数的部分图像如图所示，那么当x________时，y随x的增大而增大．
15．某校建一个新球场到了最后画线阶段，已知甲在乙的正北50米处沿正东方向以3米/秒的速度画线，同时乙沿正北方向以1米/秒的速度画线，经过___________秒后两人的距离最短．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是______
17．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是______．
18．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．
三、解答题
19．已知二次函数经过求二次函数的表达式．
20．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积．
21．设二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是实数．
（1）若函数的图象经过点（﹣2，8），求此函数的表达式；
（2）若x＞0时，y随x的增大而增大，求m的最大值．
（3）已知A（﹣1，3），B（2，3），若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B两个端点），求m的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线交于另一点D．
（1）则点D的坐标为_______（用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A、D、P、Q为顶点的四边形成为矩形时，求出点P的坐标．
23．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）．
（1）当点在该抛物线上时，求m的值．
（2）将抛物线在的部分图象沿y轴翻折得到新图象记为G，当时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）当该抛物线在的部分图象的最高点到的距离为1时，求m的值．
（4）当时，过点作垂直于x轴的直线交该抛物线于点B，在AB延长上取一点C，使，将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AE，以AC、AE为邻边作矩形ACDE，当该抛物线的顶点在矩形的边上时，直接写出该抛物线在该矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差．
参考答案
1．C
【详解】
解：当时，二次函数有最小值，
且最小值为：，
2．C
【详解】
解：二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，
得：y=2（x-1）2．
3．C
【详解】
∵
∴该函数的对称轴是直线x=3，函数图象开口向上，
当x=3时取得最小值-1，
又∵时，
当x=0时，y=8，当x=6时，y=8，
∴m=6
4．C
【详解】
函数的图像可以由函数的图像通过右平移2个单位，再向上平移1个单位．
5．A
【详解】
解：二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，
．
故选：A．
6．C
利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】
解：将代入抛物线的解析式得；
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
7．B
【详解】
解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
8．C
【详解】
解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10的大致图象如下：
．
∵mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，
∴m＜0，n＞0，
①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，
解得：m＝﹣3．
当x＝n时，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，
解得：n＝3或n＝﹣3（均不合题意，舍去）；
②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，
解得：m＝﹣3．
当x＝1时，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，
解得：n＝5，
或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，
∴m＝﹣3，
所以m+n＝﹣3+5＝2．
9．C
【详解】
令,
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，，
∴（），
∵y随x的增大而增大，
∴当x=2时，；
当时，即时，，
令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），
∴当时，或，
∴（或），
∵的对称轴为x=1，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，=3，
∴当时，y<3；
当，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，=0；
∴当时，y<0；
综上，的最大值为3．
10．D
【详解】
解：把点，，代入得到，
消去得到，故①，②正确，
∵抛物线的对称轴，开口向下，
∴时，有最大值，最大值，
∵，
∴，
∴，故③正确，
当是等腰直角三角形时，，
可以假设抛物线的解析式为，把（1，0）代入得到，故④正确，
如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，此时的周长最小，
最小值，
∵，，
∴△PBD周长最小值为，故⑤正确．
11．C
【详解】
解：在中，
令x=0，则y=2，
令y=0，则，
解得x=或2，
∴A（，0），C（0，2），
∴AC=，①正确；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，②正确；
延长AC，与对称轴交于点P，此时的值最大，
∵A（，0），C（0，2），设直线AC的表达式为：y=mx+n，
则，解得：，
∴直线AC的表达式为y=4x+2，
令，则y=5，
∴当点P的坐标为（，5）时，的值最大，③错误；
如图，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
当AC为边时，有ACM1N1，ACM2N2，ACM3N3，共3个平行四边形，
当AC为对角线时，有AMCN1，共1个平行四边形，
∴符合条件的点M有4个，④正确，
故选C．
12．C
【详解】
解：∵点B（1，5）在双曲线的图象上，
∴k=5，
∵A(0，1)，曲线AB与BC组成图形G ．由点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．
∴C的纵坐标为1
∵点C在的图象上，点C的纵坐标为1，
∴点C的横坐标是5，
∴点C的坐标为（5，1），
∵2020÷5=404，
∴P（2020，m）中m=1
∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，
∴n的最大值是5．
综上所述，m = 1，n = 5．
13．向上
【详解】
解：∵二次函数，a=1＞0，
∴二次函数的图象开口方向向上，
故答案是：向上．
14．＜1
【详解】
解：根据图象得：
函数图像开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
15．5
【详解】
解：设t秒时甲乙两者间的距离最短，
依题意得AD=3tm，BA=50m，BC=tm，AC=(50-t)m，
在Rt△ADC中
由勾股定理得CD=，
，
，
，
当t=5时CD最短．
16．①②④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
由图象得当x＝-1时，y＝a-b+c＜0，
∴a+c＜b，
故②正确；
∵图象对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，
故③错误；
由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，
∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，
故④正确．
17．或
【详解】
解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
分析可知：当x=0时，y最大值为t+1，
当x≤2时，x=-2时，y有最小值t-3，
当x＞2时，x=t时，y有最小值-t2+t+1，
由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当x≤2时，
①t+1≥3-t且，
解得，
②当3-t≥t+1且，
解得
（II）当x＞2时，
①t2-t-1≥t+1且
无解；
②t2-t-1＜t+1且，
无解，
故答案为：或．
18．．
【详解】
解：∵，，，，
∴，，
由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，
将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，
将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,
∴，
当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，
∴，
当时，
∴
∴，
将E点坐标代入解析式可得：，
解得：，
此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，
此时四边形的周长为：
；
∵，
∴当时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了个单位，
所以其解析式为：；
19．y=-x2+2x+3
【详解】
解：∵二次函数经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
设y=a（x+1）（x-3），
把（0，3）代入得3=-3a，
∴a=-1，
∴该二次函数的解析式是y=-x2+2x+3．
20．（1）抛物线的解析式为；（2）
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
21．（1）；（2）；（3）或．
【详解】
解：（1）把点（﹣2，8）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，
得到，8＝4+4（m+1）+3﹣m，
m＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+4．
（2）∵对称轴x＝﹣＝m+1，
又∵x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m+1≤0，
∴m≤﹣1，
∴m的最大值为﹣1．
（3）∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
∵二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B两个端点），
∴满足条件：或，
解得m＞0或m＜﹣3．
22．（1）；（2）； （3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为或（1，-4）．
【分析】
（1）求两函数交点，直接列等式求解即可；
（2）过点E作轴，交直线l于点F，设，则，则根据计算即可．
（3）令， 求出A、D两点坐标，根据，得到抛物线的对称轴为，设，以点A、D、P、Q为顶点的四边形成为矩形时分为两种情况：第一种，若是矩形的一条边，根据二次函数图像性质，矩形性质，勾股定理列式可求出P点坐标；第二种，若是矩形的一条对角线时，同理可求出点P坐标．
【详解】
解：（1）令，
化解得：，
解得：，
因D点在第四象限，
故时，，
故答案为：，
（2）过点E作轴，交直线l于点F，
设，则，，
，
，
，
，
的面积的最大值为，
的面积最大值为．
，
解得；
（3）令，即，
解得，，，
由（1）知，
，
抛物线的对称轴为，
设，
①若是矩形的一条边，
根据矩形性质以及A、D的坐标可知：，
且，
则 ，
四边形为矩形，，
，
，
即，
，，
，
②若是矩形的一条对角线，
则，
，则，
四边形为矩形，，
，
，
即，， ，
；
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为
或（1，-4）．
23．（1）m=-1；（2）1【详解】
（1）将点(m，?)代入得．
解得m1=m2=-1，
∴m=-1；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴直线x=m关于y轴的对称的直线为x=-m，
∵当时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，
∴，
解得1（3）当m≤0，抛物线在x≤2m的部分的函数值y随x的增大而增大．
∴当x=2m时，抛物线在x≤2m的部分有最高点，
∴，
∴最高点的坐标为（2m，m），
∴．
解得(不合题意，舍去)或；
当m>0时，对称轴为，抛物线在x≤2m的部分的最高点坐标为．
∴．
解得或(舍去)，
综上所述，当m的值为或时，抛物线在x≤2m的部分图象的最高点到的距离为1；
（4）∵AB⊥轴，
∴代入，
∴AB=2m，BC=AB=m，
∴C(1，)，，，
∴E(，)，
当抛物线的顶点在矩形的边AC上时，
∴，最大值为，
∴，
∴E(，)，即最小值为，
∴最大值与最小值的差为．
当抛物线的顶点在矩形的边CD上时，顶点坐标为(，)，
依题意得：，整理得，
解得或，
当时，顶点坐标为(，)，
∵，
则抛物线的顶点不在矩形的边CD上，不符合题意，舍去；
当时，顶点坐标为(3，)，即最大值为，
E(7，)，即最小值为，
最大值与最小值的差为；
当抛物线的顶点在矩形的边DE上时，
则，
解得，不符合题意，
综上，最大值与最小值的差为2或8．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_