同步综合测试：第4~6章 指数与对数&函数概念与性质&幂函数、指数函数和对数函数-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册Word含解析

第4~6章　指数与对数&函数
概念与性质&幂函数、指数函数
和对数函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　
　　　　　　
　　　　　　
1.(2021江苏南师大附中高一上期末)下列运算结果中正确的是
(　　)
A.a3·a4=a12　　　　B.(-a2)3=a6
C.=-π
2.(2021江西南昌二中高一期末)若f(x)=则f(f(log32))的值为(　　)
A.　　　　D.-2
3.(2021江苏连云港高一期末)函数f(x)=的部分图象大致为
(　　)
A
B
C
D
4.(2021江苏南通海门第一中学高一期末)已知a=,b=,c=(-3,则a,b,c的大小关系为
(　　)
A.b>a>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>a>b　　　　D.b>c>a
5.(2021江苏南通海门第一中学高一期末)已知函数f(x)=
?x1>x2>0,>0成立,则实数a的取值范围为
(　　)
A.
6.(2021江苏南师大附中高一月考)音乐是由不同频率的声音组成的.若音1(do)的频率为f,则简谱中七个音1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(si)组成的音阶频率分别是f,f,f,f,f,f,
f,其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶.上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值,记为α、β(α>β),α称为全音,β称为半音,则下列关系式成立的是(参考数据:lg
2≈0.301
0,lg
3≈0.477
1)(　　)
A.α=2β　　　　B.α=β2
C.|lg
α-lg
β|<0.01　　　　D.|lg
α-2lg
β|<0.01
7.(2021江苏江阴青阳中学高一月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-6),且当0≤x<3时,f(x)=其中a为常数,则f(2
019)+f(2
020)+
f(2
021)的值为
(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.
(2021江苏无锡高一期末)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为
(　　)
A.(-1,2)　　　　B.(-1,-2)　　　　C.(1,2)　　　　D.(1,-2)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021江苏张家港高级中学高一月考)已知函数f(x)=2x+2-x,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数　　　　B.f(x)是增函数
C.f(x)的最小值是2　　　　D.f(x)的最大值是4
10.(2021山东日照高一期末)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f
=0,下列结论正确的是
(　　)
A.f(0)=-　　　　B.f(-1)=-
C.f(x)为R上的减函数　　　　D.f(x)+为奇函数
11.(2021江苏南通马塘中学高一期中)已知y=f(x+2)为奇函数,且f(3+x)=f(3-x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x+log4(x+1)-1,则
(　　)
A.f(x)的图象关于(-2,0)对称　　　　
B.f(x)的图象关于(2,0)对称
C.f(2
021)=3+log43　　　　
D.f(2
021)=
12.(2021湖北高一期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,f(x+2)-f(x)=0,且当x∈[0,1]时,f(x)=-2(x-1)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个不同的零点,则下列结论正确的是
(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.当x∈[4,5]时,f(x)=-2(x-5)2
C.当x∈[2,3]时,f(x)单调递减
D.a的取值范围是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏盐城射阳中学高一月考)若f(x)=x+,则函数f(x)的值域为　　　　.?
14.(2021江苏苏州实验中学高一月考)设函数f(x)=则不等式f(x)>4的解集为　　　　.?
15.(2021上海高一期中)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)=g(x)=-x2+4x-4(x≥0),若存在实数a,使得f(a)16.(2021江苏扬州中学高一期末)定义域为R的函数F(x)=2x可以表示为一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)的和,则f(x)=　　　　;若关于x的不等式f(x)+a≥bF(-x)的解的最小值为1,其中a,b∈R,则a的取值范围是　　　　.?
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏高邮中学高一月考)已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)·x2m+1在(0,+∞)上是增函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f()18.(12分)(2021江苏南通高一期末)已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数.当00,a≠1),且其图象如图所示.
(1)求实数a,b的值及函数f(x)在区间(-2,2)上的解析式;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(-2,0)上的单调性.
19.(12分)(2021江苏泰州高一期末)已知函数f(x)=ln
,其中a>0且a≠1,b>0且b≠1.
(1)若f(x)为偶函数,试确定a,b满足的等量关系;
(2)已知n∈N
,试比较f(n)和的大小关系,并证明你的结论.
20.(12分)(2021江苏昆山中学高一月考)近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0ln计算火箭的最大速度v
m/s,其中v0
m/s是喷流相对速度,m
kg是火箭(除推进剂外)的质量,M
kg是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2
000
m/s.
(1)当总质比为410时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加1
000
m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据:ln
410≈6,e≈2.718.
21.(12分)(2021江苏南京大厂高级中学高一期中)已知函数y=f(x)=(x>1).
(1)求f(x)的反函数f
-1(x);
(2)判断f
-1(x)在其定义域内的单调性;
(3)若不等式(1-)f
-1(x)>a(a-)对任意x∈恒成立,求实数a的取值范围.
22.(12分)(2021江苏无锡天一中学高一期末)已知M={x∈R|x≠0且x≠1},fn(x)(n=1,2,…)是定义在M上的一系列函数,满足f1(x)=x,fi+1(x)=fi(i∈N
).
(1)求f3(x),f4(x)的解析式;
(2)若g(x)为定义在M上的函数,且g(x)+g=1+x.
①求g(x)的解析式;
②若方程(2x-1-m)[2x(x-1)g(x)+3x2+x+1]+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根,求实数m的取值范围.
答案
第4~6章　指数与对数&函数概念与性质&
幂函数、指数函数和对数函数
1.D　A中,a3·a4=a7,故A错;B中,(-a2)3=-a6,故B错;C中,=|a|,故C错;D中,=-π,故D正确.故选D.
2.A　f(f(log32))=f=f(-)=f(-)=f(-2-1)=f==.故选A.
3.A　f(0)==-<0,故排除B,C;当x→+∞时,ln|x-2|>0,(x-2)3>0,所以f(x)>0,故排除D.故选A.
4.D　a===(22=,b==(32=,c=(-3=[(-3)2=.
因为y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a因为y=9x在R上单调递增,<,所以<,即c所以b>c>a.故选D.
5.B　∵?x1>x2>0,>0成立,即x2f(x1)-x1f(x2)<0成立,即<成立,∴y=在(0,+∞)上单调递减.
y==
∴解得≤a≤.故选B.
6.D　由题意得α=,β=,显然A,B错误;|lg
α-lg
β|==|7lg
3-11lg
2|≈0.028
7>0.01,故C错误;|lg
α-2lg
β|==|12lg
3-19lg
2|≈0.006
2<0.01,故D正确.故选D.
7.B　由函数f(x)满足f(x)=f(x-6),得函数f(x)的周期为6.
因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=a+lo1=0,所以a=0,
则f(-1)=-f(1)=-lo(1+1)=-2,f(-2)=-f(2)=-2×(2-2)2=0.
令x=3,可得f(3)=f(3-6)=f(-3)=-f(3),可得f(3)=0.
所以f(2
019)+f(2
020)+f(2
021)=f(336×6+3)+f(336×6+4)+f(336×6+5)
=f(3)+f(4)+f(5)=f(3)+f(-2)+f(-1)=0+0-2=-2.故选B.
8.A　设(a,b)为f(x)=x3+3x2图象的对称中心,
则y=f(x+a)-b=(x+a)3+3(x+a)2-b为奇函数.
设g(x)=(x+a)3+3(x+a)2-b.
因为g(x)=x3+3(a+1)x2+3(a2+2a)x+a3+3a2-b,
又g(-x)+g(x)=0,所以3(a+1)x2+a3+3a2-b=0,
所以解得
所以函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心的坐标为(-1,2).故选A.
9.AC　f(x)=2x+2-x的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-x+2x=f(x),
所以函数为偶函数,所以函数在R上不是增函数,故A正确,B错误;
f(x)=2x+2-x≥2=2,当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立,故C正确;
当x=2时,f(2)>4,故D错误.
故选AC.
10.ABD　令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+?f(0)=-,故A选项正确.
令x=,y=-,则f=f+f+,
即-=0+f+?f=-1.
令x=y=-,则f=f+f+,
即f(-1)=2f+=-2+=-,故B选项正确.
由于f(-1)令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+,即-=f(x)+f(-x)+,
即0=+,所以f(x)+为奇函数,故D选项正确.
故选ABD.
11.ABD　因为f(x+2)为奇函数,所以f(-x+2)=-f(x+2),
即f(2+x)=-f(2-x),所以f(x)的图象关于(2,0)对称,故选项B正确.
由f(2+x)=-f(2-x)可得f(4+x)=-f(-x),
由f(3+x)=f(3-x)可得f(-x)=f(6+x),
所以-f(4+x)=f(6+x),可得f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,
所以f(x)的图象关于(-2,0)对称,故选项A正确.
f(2
021)=f(4×505+1)=f(1)=2+log42-1=,故选项D正确,选项C不正确.
故选ABD.
12.AB　由定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,知f(x)是偶函数.
由f(x+2)-f(x)=0,知f(x)是周期为2的周期函数.
又当x∈[0,1]时,f(x)=-2(x-1)2,所以f(x)的部分图象如图所示.
对于A选项,由图可知,f(x)的图象关于直线x=-1对称,故A正确;
对于B选项,当x∈[4,5]时,f(x)=f(x-4)=-2(x-5)2,故B正确;
对于C选项,由图可知,当x∈[2,3]时,f(x)单调递增,故C错误;
对于D选项,设g(x)=loga(x+1),则函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个不同的零点等价于函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上至少有三个不同的交点,结合图象可知需满足g(2)>f(2),即loga(2+1)>-2,解得013.答案　
解析　令t=(t≥0),则x=1-t2,
所以y=1-t2+t=-+.
所以当t=时,y取得最大值,
所以函数的值域为.　
14.答案　(17,+∞)
解析　当x≥2时,令f(x)=log2(x-1)>4,解得x>17;
当x<2时,令f(x)=2x>4,解得x>2,与x<2矛盾.
综上所述,f(x)>4的解集为(17,+∞).　
15.答案　(-3,-1)∪(1,3)
解析　∵f(x)为奇函数,且f(x)=
∴f(x)的图象关于原点对称,如图.
当x>0时,f(1)最大,为1;当x<0时,f(-1)最小,为-1.
∵g(x)为偶函数,且g(x)=-x2+4x-4(x≥0),
∴g(x)的图象关于y轴对称,如图,且g(x)=-x2+4|x|-4.
∵存在实数a,使得f(a)∴g(b)>-1,即-b2+4|b|-4>-1,∴1<|b|<3,∴1∴实数b的取值范围是(1,3)∪(-3,-1).　
16.答案　(2x-2-x);a≥-1
解析　由题意知F(x)=f(x)+g(x)=2x.
∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2-x.
F(x)-F(-x)=f(x)+g(x)-[-f(x)+g(x)]=2f(x)=2x-2-x,即f(x)=(2x-2-x).
f(x)+a≥bF(-x),即(2x-2-x)+a≥b·2-x,即a≥2-xb-(2x-2-x),即a≥2-x-2x-1.
关于x的不等式f(x)+a≥bF(-x)的解的最小值为1,
等价于a≥(x≥1).
令h(x)=2-x-2x-1(x≥1).
当b=-时,h(x)=-2x-1(x≥1),易知h(x)=-2x-1在[1,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(1)=-20=-1,故a≥-1.
当b>-时,b+>0,h(x)=2-x-2x-1在[1,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(1)=×2-1-20=-,
当b趋近于+∞时,h(x)max趋近于+∞,故a≥(x≥1)无解.
当b<-时,b+<0,当x≥1时,0≤2-x≤,2-x<0,-2x-1<-1,
故h(x)=2-x-2x-1<-1,即a≥-1.
综上所述,a≥-1.
17.解析　(1)因为f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,
所以2m2+m-2=1,即2m2+m-3=0,解得m=-或m=1.
(3分)
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以2m+1>0,解得m>-,所以m=1.
故f(x)=x3.
(5分)
(2)由(1)知f(x)=x3,易知f(x)为R上的增函数,
所以解得(8分)
所以<4a≤42,即8<4a≤16,故4a的取值范围是(8,16].
(10分)
18.解析　(1)由题图得f(1)=1,f=0,
所以f(1)=loga=1,f=loga=0,解得a=2,b=1.
所以函数f(x)在区间(0,2)上的解析式为f(x)=log2.
(2分)
设-2又函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-log2=log2.
(4分)
又f(0)=0,
所以函数f(x)在(-2,2)上的解析式为f(x)=
(6分)
(2)函数f(x)在区间(-2,0)上单调递增.
证明如下:任取x1,x2∈(-2,0),且x1则f(x1)-f(x2)=log2-log2=log2=log2.
(8分)
因为(2+x1)(1-x2)-(1-x1)(2+x2)=3(x1-x2),-2所以0<(2+x1)(1-x2)<(1-x1)(2+x2),所以0<<1,
(10分)
所以log2<0,所以f(x1)所以函数f(x)在区间(-2,0)上单调递增.
(12分)
19.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-1)=f(1),
即ln=ln,所以=,即==,
(2分)
由题知a+b>0,所以ab=1.
(4分)
经检验,ab=1满足题意.
(6分)
(2)f(n)≤.证明如下:
f(n)-=ln-ln=ln-ln.
(8分)
因为>0,>0,所以-==-≤0,
即≤,
(10分)
所以ln≤ln,即f(n)≤
.
(12分)
20.解析　(1)当总质比为410时,v=2
000ln
410.
由参考数据得v≈2
000×6=12
000,
∴当总质比为410时,A型火箭的最大速度约为12
000
m/s.
(3分)
(2)由题意,经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为3
000
m/s,总质比为.(4分)
要使火箭的最大速度至少增加1
000
m/s,则需3
000ln
-2
000ln≥1
000,
化简,得3ln-2ln≥1,
(6分)
∴ln-ln≥1,整理得ln≥1,
(8分)
∴≥e,∴≥125×e.
(10分)
由参考数据知e≈2.718,∴125×e≈339.75.
∴在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340.
(12分)
21.解析　(1)由y=,得x=.
(2分)
∵y==,且x>1,∴0-1(x)=(0(4分)
(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1-1(x1)-f
-1(x2)=.
∵00,1->0,∴f
-1(x1)-1(x2).
(6分)
∴f
-1(x)在(0,1)上是增函数.
(7分)
(3)由题意得(1-)>a(a-)对任意x∈恒成立.
∴1+>a2-a,即(1+a)+1-a2>0对任意x∈恒成立.
(8分)
显然a≠-1.令t=,∵x∈,∴t∈,
∴g(t)=(1+a)t+1-a2>0对任意t∈恒成立.
(10分)
∵g(t)=(1+a)t+1-a2是关于t的一次函数,
∴g>0且g>0,即解得-1(12分)
22.解析　(1)由题意知f2(x)=1-,f3(x)=f2=,f4(x)=f3=x.
(2分)
(2)①利用(1)中的结论,用替换x两次,
得到
(4分)
消去g,g,可得g(x)=(x≠0,x≠1).
(6分)
②由题可得方程(2x-1-m)(x3+2x2+x)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根,
整理可得m==有且仅有一个实根,
(8分)
令t=x+,则x2+=t2-2.
∵x≠0,x≠1,且当x=-1时,方程不成立,即-1不是方程的根,
∴t∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴m===2-5在(-∞,-2)∪(2,+∞)上有且仅有一个实根.
(10分)
令λ=t+2,则λ∈(-∞,0)∪(4,+∞),m=2-5,即=λ+在(-∞,0)∪(4,+∞)上有且仅有一个实根.
画出y=λ+,λ∈(-∞,0)∪(4,+∞)的图象,如图所示.
由图可知=-2或>,解得m=-5-4或m>.
(12分)