2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ)

2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
2．（2020·新课标Ⅰ·理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（　　）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
故答案为：B.
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
3．（2020·新课标Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故答案为：C.
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
4．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
5．（2020·新课标Ⅰ·理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
6．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
7．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
8．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
9．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故答案为：A.
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
10．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 为球O的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；正弦定理
【解析】【解答】设圆 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故答案为：A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
11．（2020·新课标Ⅰ·理）已知⊙M： ，直线 ： ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆系方程
【解析】【解答】圆的方程可化为 ，点M到直线l的距离为 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故答案为：D.
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
12．（2020·新课标Ⅰ·理）若 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅰ·理）若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为　 　.
【答案】1
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
14．（2020·新课标Ⅰ·理）设 为单位向量，且 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解.
15．（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为　 　.
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
16．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅰ·理）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前n项和．
【答案】（1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
，
；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
18．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形，P为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）解：由题设，知 为等边三角形，设 ，
则 ， ，所以 ，
又 为等边三角形，则 ，所以 ，
，则 ，所以 ，
同理 ，又 ，所以 平面 ；
（2）解：过O作 ∥BC交AB于点N，因为 平面 ，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以
故 ，
设二面角 的大小为 ，则 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可；（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，利用公式 计算即可得到答案.
19．（2020·新课标Ⅰ·理）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1）解：记事件M：甲连胜四场，则 ；
（2）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
20．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
21．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅰ·理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）解：因为 ，作出图象，如图所示：
（2）解：将函数 的图象向左平移1个单位，可得函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
1 / 12020年高考理数真题试卷（新课标Ⅰ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（　　）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2020·新课标Ⅰ·理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（　　）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
3．（2020·新课标Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
5．（2020·新课标Ⅰ·理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·新课标Ⅰ·理） 的展开式中x3y3的系数为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
9．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
10．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 为球O的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·新课标Ⅰ·理）已知⊙M： ，直线 ： ，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
12．（2020·新课标Ⅰ·理）若 ，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅰ·理）若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为　 　.
14．（2020·新课标Ⅰ·理）设 为单位向量，且 ，则 　 　.
15．（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为　 　.
16．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=　 　.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅰ·理）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前n项和．
18．（2020·新课标Ⅰ·理）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形，P为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
19．（2020·新课标Ⅰ·理）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
21．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅰ·理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
故答案为：B.
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
3．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故答案为：C.
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
7．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
8．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为10，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故答案为：C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对r分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
9．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故答案为：A.
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
10．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；正弦定理
【解析】【解答】设圆 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故答案为：A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
11．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆系方程
【解析】【解答】圆的方程可化为 ，点M到直线l的距离为 ，所以直线l与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故答案为：D.
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
12．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
13．【答案】1
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解.
15．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质
【解析】【解答】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
16．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ， ， ，
由勾股定理得 ，
同理得 ， ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 .
故答案为： .
【分析】在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值.
17．【答案】（1）解：设 的公比为q， 为 的等差中项，
，
；
（2）解：设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
①②得，
，
.
【知识点】数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
18．【答案】（1）解：由题设，知 为等边三角形，设 ，
则 ， ，所以 ，
又 为等边三角形，则 ，所以 ，
，则 ，所以 ，
同理 ，又 ，所以 平面 ；
（2）解：过O作 ∥BC交AB于点N，因为 平面 ，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为
由 ，得 ，令 ，得 ，
所以
故 ，
设二面角 的大小为 ，则 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可；（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，利用公式 计算即可得到答案.
19．【答案】（1）解：记事件M：甲连胜四场，则 ；
（2）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
20．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
21．【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
22．【答案】（1）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
23．【答案】（1）解：因为 ，作出图象，如图所示：
（2）解：将函数 的图象向左平移1个单位，可得函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
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