【精品解析】2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ)

2020年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅱ·理）已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则 （　　）
A．{ 2，3} B．{ 2，2，3}
C．{ 2， 1，0，3} D．{ 2， 1，0，2，3}
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故答案为：A.
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
2．（2020·新课标Ⅱ·理）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 时， ，B不符合题意；
当 时， ，A不符合题意；
由 在第四象限可得： ，则 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
3．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
4．（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（　　）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
5．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
6．（2020·新课标Ⅱ·理）数列 中， ， ，若 ，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由 可求得k的值.
7．（2020·新课标Ⅱ·理）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（　　）
A．E B．F C．G D．H
【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为E
故答案为：A
【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.
8．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
9．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（　　）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
10．（2020·新课标Ⅱ·理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设球O的半径为R，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故答案为：C.
【分析】根据球O的表面积和 的面积可求得球O的半径R和 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 .
11．（2020·新课标Ⅱ·理）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
12．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
14．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　 　种.
【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
15．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 =　 　.
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
16．（2020·新课标Ⅱ·理）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是　 　.
①②③④
【答案】①③④
【知识点】复合命题的真假；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点A在平面 内，
同理， 与 的交点B也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则m垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
18．（2020·新课标Ⅱ·理）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1.414.
【答案】（1）解：样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）解：样本 的相关系数为
（3）解：由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【知识点】分层抽样方法；随机抽样和样本估计总体的实际应用；线性相关
【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
19．（2020·新课标Ⅱ·理）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
【答案】（1）解： ， 轴且与椭圆 相交于A、B两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）解：由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得c的值，进而可得出 与 的标准方程.
20．（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
【答案】（1）解： 分别为 ， 的中点，
又
在 中，M为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）解：连接
平面 ，平面 平面
根据三棱柱上下底面平行，
其面 平面 ，面 平面
故：四边形 是平行四边形
设 边长是 ( )
可得： ，
为 的中心，且 边长为
故：
解得：
在 截取 ，故
且
四边形 是平行四边形，
由（1） 平面
故 为 与平面 所成角
在 ，根据勾股定理可得：
直线 与平面 所成角的正弦值： .
【知识点】平行公理；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；（2）连接 ，先求证四边形 是平行四边形，根据几何关系求得 ，在 截取 ，由（1） 平面 ，可得 为 与平面 所成角，即可求得答案.
21．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
（3）解：结合(2)的结论有：
.
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅱ·理）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）解：由 得 C2 的普通方程为： x+y=4（0≤x≤4）；
由 得： ，两式作差可得 C2 的普通方程为： .
（2）解：由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2）解： （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
1 / 12020年高考理数真题试卷（新课标Ⅱ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅱ·理）已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则 （　　）
A．{ 2，3} B．{ 2，2，3}
C．{ 2， 1，0，3} D．{ 2， 1，0，2，3}
2．（2020·新课标Ⅱ·理）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
3．（2020·新课标Ⅱ·理）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（　　）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
4．（2020·新课标Ⅱ·理）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（　　）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
5．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·新课标Ⅱ·理）数列 中， ， ，若 ，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2020·新课标Ⅱ·理）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（　　）
A．E B．F C．G D．H
8．（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（　　）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
10．（2020·新课标Ⅱ·理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
11．（2020·新课标Ⅱ·理）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020·新课标Ⅱ·理）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅱ·理）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=　 　.
14．（2020·新课标Ⅱ·理）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　 　种.
15．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 =　 　.
16．（2020·新课标Ⅱ·理）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是　 　.
①②③④
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅱ·理） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
18．（2020·新课标Ⅱ·理）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r= ， =1.414.
19．（2020·新课标Ⅱ·理）已知椭圆C1： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
20．（2020·新课标Ⅱ·理）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
21．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅱ·理）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故答案为：A.
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
2．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 时， ，B不符合题意；
当 时， ，A不符合题意；
由 在第四象限可得： ，则 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
3．【答案】B
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
5．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
6．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由 可求得k的值.
7．【答案】A
【知识点】由三视图还原实物图
【解析】【解答】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M点所在位置，
可知在侧视图中所对应的点为E
故答案为：A
【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；平均值不等式
【解析】【解答】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
C的焦距的最小值：
故答案为：B.
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得D，E两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为8，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
10．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设球O的半径为R，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故答案为：C.
【分析】根据球O的表面积和 的面积可求得球O的半径R和 外接圆半径r，由球的性质可知所求距离 .
11．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
12．【答案】C
【知识点】类比推理
【解析】【解答】由 知，序列 的周期为m，由已知， ，
对于A，
，不满足；
对于B，
，不满足；
对于D，
，不满足；
故答案为：C
【分析】分别为4个选项中k=1 ， 2， 3 ， 4进行讨论， 若有一个不满足条件，就排除 ；由题意可得周期都是5 ，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列， 继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
14．【答案】36
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为：36.
【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
15．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
16．【答案】①③④
【知识点】复合命题的真假；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点A在平面 内，
同理， 与 的交点B也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则m垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题.
综上可知， 为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
17．【答案】（1）解：由正弦定理可得： ，
，
， .
（2）解：由余弦定理得： ，
即 .
（当且仅当 时取等号），
，
解得： （当且仅当 时取等号），
周长 ， 周长的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 的形式，进而求得A；（2）利用余弦定理可得到 ，利用基本不等式可求得 的最大值，进而得到结果.
18．【答案】（1）解：样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为
（2）解：样本 的相关系数为
（3）解：由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【知识点】分层抽样方法；随机抽样和样本估计总体的实际应用；线性相关
【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
19．【答案】（1）解： ， 轴且与椭圆 相交于A、B两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）解：由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）求出 、 ，利用 可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 的离心率的值；（2）由（1）可得出 的方程为 ，联立曲线 与 的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 可求得c的值，进而可得出 与 的标准方程.
20．【答案】（1）解： 分别为 ， 的中点，
又
在 中，M为 中点，则
又 侧面 为矩形，
由 ， 平面
平面
又 ，且 平面 ， 平面 ，
平面
又 平面 ，且平面 平面
又 平面
平面
平面
平面 平面
（2）解：连接
平面 ，平面 平面
根据三棱柱上下底面平行，
其面 平面 ，面 平面
故：四边形 是平行四边形
设 边长是 ( )
可得： ，
为 的中心，且 边长为
故：
解得：
在 截取 ，故
且
四边形 是平行四边形，
由（1） 平面
故 为 与平面 所成角
在 ，根据勾股定理可得：
直线 与平面 所成角的正弦值： .
【知识点】平行公理；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由 分别为 ， 的中点， ，根据条件可得 ，可证 ，要证平面 平面 ，只需证明 平面 即可；（2）连接 ，先求证四边形 是平行四边形，根据几何关系求得 ，在 截取 ，由（1） 平面 ，可得 为 与平面 所成角，即可求得答案.
21．【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
（3）解：结合(2)的结论有：
.
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
22．【答案】（1）解：由 得 C2 的普通方程为： x+y=4（0≤x≤4）；
由 得： ，两式作差可得 C2 的普通方程为： .
（2）解：由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
23．【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2）解： （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
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