2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅰ)

2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅰ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅰ·文）已知集合 则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
2．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
3．（2020·新课标Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故答案为：C.
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
4．（2020·新课标Ⅰ·文）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】如图，
从 5个点中任取3个有
共 种不同取法，
3点共线只有 与 共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为 .
故答案为：A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
5．（2020·新课标Ⅰ·理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
6．（2020·新课标Ⅰ·文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
7．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数的周期性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
8．（2020·新课标Ⅰ·文）设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到结果.
9．（2020·新课标Ⅰ·文）执行下面的程序框图，则输出的n=（　　）
A．17 B．19 C．21 D．23
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；循环结构
【解析】【解答】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足 的最小正奇数，
因为 ，解得 ，
所以输出的 ．
故答案为：C.
【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数n，根据等差数列求和公式即可求出．
10．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是等比数列，且 ， ，则 （　　）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】根据已知条件求得q的值，再由 可求得结果.
11．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
12．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 为球O的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；正弦定理
【解析】【解答】设圆 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故答案为：A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅰ·理）若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为　 　.
【答案】1
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
14．（2020·新课标Ⅰ·文）设向量 ，若 ，则 　 　.
【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
15．（2020·新课标Ⅰ·文）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　 　.
【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.
16．（2020·新课标Ⅰ·文）数列 满足 ，前16项和为540，则 　 　.
【答案】7
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅰ·文）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
【答案】（1）解：由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ；
（2）解：甲分厂加工100件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；
乙分厂加工100件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【知识点】频率分布表；随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
18．（2020·新课标Ⅰ·文） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
【答案】（1）解：由余弦定理可得 ，
的面积 ；
（2）解： ，
，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知角B和b边，结合 关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
19．（2020·新课标Ⅰ·文）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形，P为 上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P ABC的体积.
【答案】（1）解： 为圆锥顶点，O为底面圆心， 平面 ，
在 上， ，
是圆内接正三角形， ， ，
，即 ，
平面 平面 ， 平面 平面 ；
（2）解：设圆锥的母线为l，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ，
，解得 ， ，
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据已知可得 ，进而有 ，可得 ，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 边长，在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可求出结论.
20．（2020·新课标Ⅰ·文）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）解：若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令 ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
21．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅰ·理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）解：因为 ，作出图象，如图所示：
（2）解：将函数 的图象向左平移1个单位，可得函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
1 / 12020年高考文数真题试卷（新课标Ⅰ)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·新课标Ⅰ·文）已知集合 则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （　　）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2020·新课标Ⅰ·理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020·新课标Ⅰ·文）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·新课标Ⅰ·理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·新课标Ⅰ·文）已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·新课标Ⅰ·文）设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
9．（2020·新课标Ⅰ·文）执行下面的程序框图，则输出的n=（　　）
A．17 B．19 C．21 D．23
10．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是等比数列，且 ， ，则 （　　）
A．12 B．24 C．30 D．32
11．（2020·新课标Ⅰ·文）设 是双曲线 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 ，则 的面积为（　　）
A． B．3 C． D．2
12．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 为球O的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·新课标Ⅰ·理）若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为　 　.
14．（2020·新课标Ⅰ·文）设向量 ，若 ，则 　 　.
15．（2020·新课标Ⅰ·文）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　 　.
16．（2020·新课标Ⅰ·文）数列 满足 ，前16项和为540，则 　 　.
三、解答题
17．（2020·新课标Ⅰ·文）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
18．（2020·新课标Ⅰ·文） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
19．（2020·新课标Ⅰ·文）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形，P为 上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO= ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥P ABC的体积.
20．（2020·新课标Ⅰ·文）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
21．（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
四、[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2020·新课标Ⅰ·理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
五、[选修4-5：不等式选讲]
23．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由 解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果.
2．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
3．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理
【解析】【解答】如图，
设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故答案为：C.
【分析】设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】如图，
从 5个点中任取3个有
共 种不同取法，
3点共线只有 与 共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为 .
故答案为：A
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
5．【答案】D
【知识点】散点图；线性回归方程
【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
6．【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 .
故答案为：B.
【分析】根据直线和圆心与点 连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】三角函数的周期性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到结果.
9．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；循环结构
【解析】【解答】依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足 的最小正奇数，
因为 ，解得 ，
所以输出的 ．
故答案为：C.
【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足 的最小正奇数n，根据等差数列求和公式即可求出．
10．【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .
故答案为：D.
【分析】根据已知条件求得q的值，再由 可求得结果.
11．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故答案为：B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到 ，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
12．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积；正弦定理
【解析】【解答】设圆 半径为r，球的半径为R，依题意，
得 ，
由正弦定理可得 ，
，根据圆截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故答案为：A
【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
13．【答案】1
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
14．【答案】5
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
15．【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.
16．【答案】7
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
17．【答案】（1）解：由表可知，甲厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ，乙厂加工出来的一件产品为 级品的概率为 ；
（2）解：甲分厂加工100件产品的总利润为 元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；
乙分厂加工100件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【知识点】频率分布表；随机抽样和样本估计总体的实际应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工 件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
18．【答案】（1）解：由余弦定理可得 ，
的面积 ；
（2）解： ，
，
，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知角B和b边，结合 关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出 ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.
19．【答案】（1）解： 为圆锥顶点，O为底面圆心， 平面 ，
在 上， ，
是圆内接正三角形， ， ，
，即 ，
平面 平面 ， 平面 平面 ；
（2）解：设圆锥的母线为l，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 ，
，解得 ， ，
在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
三棱锥 的体积为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据已知可得 ，进而有 ，可得 ，即 ，从而证得 平面 ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形 边长，在等腰直角三角形 中求出 ，在 中，求出 ，即可求出结论.
20．【答案】（1）解：当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）解：若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令 ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
21．【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设 ，
则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .
同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【知识点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知即可求得： ，问题得解.（2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证.
22．【答案】（1）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
两式平方相加得 ，
所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）解：当 时，曲线 的参数方程为 为参数），
所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数），
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 .
【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论；（2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解.
23．【答案】（1）解：因为 ，作出图象，如图所示：
（2）解：将函数 的图象向左平移1个单位，可得函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
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