菱形的定义、性质
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(共24张PPT)
观 察
下面的图形中有你熟悉的吗？
三菱汽车标志欣赏
§19.2 .2 特殊的平行四边形
---菱形
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗花纹——越王勾践剑
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
你能从平行四边形中得到菱形吗？试一试。
请同学们拿出准备好的矩形纸片按照下图对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形。
从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
B
D
A
C
菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线.
(2)从图中你能得到哪些结论 并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗
它是轴对称图形吗 如果是，有几条对称轴
对称轴之间有什么位置关系
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，
故：
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
菱形的性质：
B
D
A
C
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
又：
性质1： 菱形的四条边都相等。
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=CD AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）
∵ AB=AD
∴ AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
在△ABD中，
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
性质2：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的对边平行
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的对角相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形是轴对称图形：对称轴是对角线所在的直线
A
B
C
D
例2：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（ 分别精确到0.01m和0.1m ）
O
解：∵ 花坛ABCD是菱形
∴ AC⊥BD, ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°
在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10(m)
BO= ≈17.32（m）
∴ 花坛的两条小路长
AC = 2AO = 20 (m)
BD = 2BO ≈34.64(m)
花坛的面积
= AC·BD≈346.4 ( )
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形
的边长为 ，面积为 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线
AC长为16 ，此菱形的边长为 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方
的 （ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
5
4
10
C
有关菱形问题可转化为直角三角形或
等腰三角形的问题来解决
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
3
4
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
菱形性质的应用
1.已知:如图,四边形ABCD是边长为 13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
2、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的
交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角
线BD的长。
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6 cm
5
4
3
3.在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD ，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？
ABCD=S△ABD+S△BCD
S
=
BD·AO
+
BD·CO
=
·BD· (AO+CO)
=
BD·AC
=
×10×18=90
解：
D
A
O
B
C
你有什么
发现？
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？
2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
课堂反思
四边形集合
平行四边形集合
菱形集合
矩形集合
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形 菱形
定义 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形
性
质 1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角
3、矩形的对角线相等 1、具有平行四边形的一切性质
2、菱形的四条边都相等
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
观 察
下面的图形中有你熟悉的吗？
三菱汽车标志欣赏
§19.2 .2 特殊的平行四边形
---菱形
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗花纹——越王勾践剑
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
你能从平行四边形中得到菱形吗？试一试。
请同学们拿出准备好的矩形纸片按照下图对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形。
从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
B
D
A
C
菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线.
(2)从图中你能得到哪些结论 并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗
它是轴对称图形吗 如果是，有几条对称轴
对称轴之间有什么位置关系
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，
故：
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
菱形的性质：
B
D
A
C
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
又：
性质1： 菱形的四条边都相等。
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=CD AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）
∵ AB=AD
∴ AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
在△ABD中，
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
性质2：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
【菱形的面积公式】
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC●AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的对边平行
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的对角相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
A
D
C
B
O
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形是轴对称图形：对称轴是对角线所在的直线
A
B
C
D
例2：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（ 分别精确到0.01m和0.1m ）
O
解：∵ 花坛ABCD是菱形
∴ AC⊥BD, ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°
在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10(m)
BO= ≈17.32（m）
∴ 花坛的两条小路长
AC = 2AO = 20 (m)
BD = 2BO ≈34.64(m)
花坛的面积
= AC·BD≈346.4 ( )
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形
的边长为 ，面积为 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线
AC长为16 ，此菱形的边长为 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方
的 （ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
5
4
10
C
有关菱形问题可转化为直角三角形或
等腰三角形的问题来解决
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
3
4
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
菱形性质的应用
1.已知:如图,四边形ABCD是边长为 13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
2、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的
交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角
线BD的长。
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6 cm
5
4
3
3.在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD ，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？
ABCD=S△ABD+S△BCD
S
=
BD·AO
+
BD·CO
=
·BD· (AO+CO)
=
BD·AC
=
×10×18=90
解：
D
A
O
B
C
你有什么
发现？
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？
2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
课堂反思
四边形集合
平行四边形集合
菱形集合
矩形集合
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形 菱形
定义 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形
性
质 1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角
3、矩形的对角线相等 1、具有平行四边形的一切性质
2、菱形的四条边都相等
3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角