考前帮你归纳总结（三）：直线圆锥曲线常见的几种题型

考前帮你归纳总结（三）：直线圆锥曲线常见的几种题型
一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:
1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n
的区别）
2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5.根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”
>0；
③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；
④“共线问题”
（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的
合理选择）；
6.化简与计算；
7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
例1.已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为
，BC过椭圆m的中心，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y
轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围．
解（1）椭圆m：
（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）
1°当k=0时，显然－22°当k≠0时，设
消y得
由△>0 可得 ①
设
则
∴
由
∴ ②
∴t>1 将①代入②得 1∴t的范围是（1，4）
综上t∈（－2，4）
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
例2.已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在
上，点在上，且满足＝2，·＝．
（1）若，求点的轨迹的方程；
（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，
使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
解：（1）∴点为的中点，
又，或点与点重合．∴
又
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，∴的轨迹方程是
(2)解：不存在这样一组正实数，
下面证明：
由题意，若存在这样的一组正实数，
当直线的斜率存在时，设之为，
故直线的方程为：，设，中点，
则，两式相减得：
．
注意到，且 ，则 ， ②
又点在直线上，，代入②式得：．
因为弦的中点在⑴所给椭圆内，
故， 这与矛盾，所以所求这组正实数不存在．
当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，
则此时，代入①式得，
这与是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在．
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无
关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
例3、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一
象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的
两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
例3、解（1）。 ，设
则
点在曲线上，则
从而，得，则点的坐标为
（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，
则PB的直线方程为： 由
得
设则
同理可得，则
所以：AB的斜率为定值。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求
出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设，，
联立， 得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，
，即，
，
，
．
解得：
，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、
三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等
式的方法等再解决；
例5.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线
与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值．
解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，化简得，解得或。。6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为
，
．
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为。
解法二：由题设，，． 设，，由①得，，
故四边形的面积为
，
当时，上式取等号．所以的最大值为．
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
例6.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M
（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解：（1）设椭圆方程为
则
∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距m, 又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
由
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
D
F
B
y
x
A
O
E
D
F
B
y
x
A
O
E