【 精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.3.1知能优化训练

1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．(2011年高考辽宁卷)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：选B.设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
3．函数y＝3x－x3在(－1,1)内的单调性是____________．
解析：y′＝3－3x2，令y′<0得x>1或x<－1，
令y′>0得－1∴原函数在(－1,1)上是单调递增函数．
答案：单调递增
4．求下列函数的单调区间．
(1)y＝x－lnx；
(2)y＝.
解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
其导数为y′＝1－.
令1－>0，解得x>1；再令1－<0，解得0因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，
函数的单调减区间为(0,1)．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
y′＝－，所以当x≠0时，y′＝－<0，
而当x＝0时，函数无意义，
所以y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，
即y＝的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
2．函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C.∵y′＝8x－＝>0，∴x>.
即函数的单调递增区间为(，＋∞)．
3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0 B．f(x)<0
C．f(x)＝0 D．不能确定
解析：选A.因f′(x)>0，所以f(x)在(a，b)上是增函数，所以f(x)>f(a)≥0.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是(　　)
A．y＝2－3x2 B．y＝lnx
C．y＝ D．y＝sin x
解析：选C.对于函数y＝，其导数y′＝＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.
5．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，若y＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y′恒大于或等于0即可．∴只有选项B符合题意，当x∈(π，2π)时，y′≥0恒成立．
6．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)
A．a≥ B．a＝1
C．a＝2 D．a≤0
解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，
即3ax2≤1恒成立．
当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.
综上可得a≤0.
二、填空题
7．y＝x2ex的单调递增区间是________．
解析：∵y＝x2ex，
∴y′＝2xex＋x2ex＝exx(2＋x)>0 x<－2或x>0.
∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
解析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，
∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.
答案：－　－6
9．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，
∴a>0.
答案：(0，＋∞)
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3＋；
(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．
解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－＝3(x2－)，
由f′(x)>0，解得x<－1或x>1，
由f′(x)<0，解得－1∴f(x)的递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)
＝2cos2x＋cosx－1
＝(2cosx－1)(cosx＋1)．
∵0≤x≤2π，
∴由f′(x)＝0得x1＝，x2＝π，
x3＝π，
则区间[0,2π]被分成三个子区间：如表所示：
x 0 (0，) (，π) π (π，π) π (π，2π) 2π
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ ?↘ ?↘ ?↗
∴f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)的单调递增区间为[0，]，[π，2π]，单调递减区间为[，π]．
11．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．
(1)a，b的值；
(2)f(x)的单调区间．
解：(1)∵f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，
∴f′(－2)＝f′(1)＝0，
故有，
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)∵a＝－，b＝－1，
∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1，
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．
12．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝a＋－，
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
只需f′(x)在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.
当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，
∴a－≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.