【 精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.3.2知能优化训练

1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
答案：A
2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3处取得极值，
∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0
∴a＝5.
3．y＝x3－6x＋a的极大值为________．
解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±.当x<－或x>时，y′>0；当－答案：a＋4
4．求函数f(x)＝x＋的极值．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ ＋ 0 － － 0 ＋
y ?↗ 极大值－2 ↘ ↘ 极小值2 ↗
因此，当x＝－1时，y有极大值，且y极大值＝f(－1)＝－2，当x＝1时，y有极小值，且y极小值＝f(1)＝2.
一、选择题
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
2．下列函数存在极值的是(　　)
A．y＝ B．y＝x－ex
C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3
解析：选B.A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，
f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.
C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．
4．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析：
选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)·(x＋1)，
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
∴x＝－1时取极小值．
5．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则y的极值情况是(　　)
A．有极小值 B．有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．无极值
解析：选D.f′(x)＝1－＝≥0，∴函数f(x)在定义域R上为增函数，故选D.
6．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为(　　)
A．a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5
D．以上都不正确
解析：选A.f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f′(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①
又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②
由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4.
∴或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以舍去．
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．
解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，
在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1,5)上
f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值
＝f(5)＝－98.
答案：10　－98
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．
由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.
答案：(－∞，－1)
9．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
三、解答题
10．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2e－x.
解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f′(x)＝，
令f′(x)＝0，
得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) ?↗ － ?↘ ?↗ 3 ↗?
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f(－1)＝－.
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·()′
＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ?↘ 0 ?↗ 4e－2 ?↘
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
解：∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表
x (－∞，－m) －m (－m，m) m (m，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗? 极大值 ?↘ 极小值 ↗?
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
12．(2010年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0解：由f(x)＝sin x－cosx＋x＋1,0知f′(x)＝cos x＋sin x＋1，
于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．
令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－， 得x＝π，或x＝.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (0，π) π (π，) (，2π)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ π＋2 ?↘ ?↗
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(，2π)，单调递减区间是(π，)，极小值为f()＝，极大值为f(π)＝π＋2.