【 精品练习】人教A版 数学 选修2第1章1.4知能优化训练

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8　　　　　　　　　 B.
C．－1 D．－8
解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产(　　)
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.
3．把长60 cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．
解析：设长为x cm，则宽为(30－x) cm，
所以面积S＝x(30－x)＝－x2＋30x.
由S′＝－2x＋30＝0，得x＝15.
答案：15　15
4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当10≤x<15时，f′(x)<0.
因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．
故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
一、选择题
1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是(　　)
A．1秒末 B．0秒
C．4秒末 D．0,1,4秒末
解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
解析：选B.设截去小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.所以V＝x(48－2x)2(0V′＝12(x－8)(x－24)．令V′＝0，则x＝8∈(0,24)．
3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(　　)
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
解析：选A.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，
则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，
∴堆料场的长为＝32(米)．
4．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C.因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
5．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：选D.由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0，当3006．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为(　　)
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
解析：
选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcos θ，l＝2rsin θ.
∴S侧＝2πR·l＝2πrcos θ×2rsin θ＝4πr2sin θcos θ.
∴由S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，
得θ＝.
∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，
且S侧最大值为2πr2.
二、填空题
7．物体的运动方程为s＝2010t＋2011t2(s的单位是米．t的单位是秒)，则此物体在t＝10秒时的速度是________．
解析：由已知得s′＝2010＋4022t，所以，当t＝10时，物体速度为s′＝42230(米/秒)．
答案：42230 米/秒
8．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省料．
解析：设底面边长为x，则高为h＝，
其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，
则高h＝＝4 (dm)．
答案：4
9．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析：设矩形的长为x m，
则宽为＝(8－x) m(0∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x
∴S′(x)＝－2x＋8，
令S′(x)＝0，则x＝4，
又在(0,8)上只有一个极值点且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，
故S(x)max＝S(4)＝16.
答案：16
三、解答题
10．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x m，长为2x m，
则高为h＝＝4.5－3x(0＜x＜)．
故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0＜x＜)，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；
当1＜x＜时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
即当长方体的长为2 m、宽为1 m、高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
11．(2011年高考江苏卷)已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数．若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．
(1)设a>0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b的取值范围；
(2)设a<0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．
解：f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b.
(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立．
因为a>0，故3x2＋a>0，进而2x＋b≥0，即b≥－2x在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.
因为b的取值范围是[2，＋∞)．
(2)令f′(x)＝0，解得x＝± .
若b>0，由a<0得0∈(a，b)．
又因为f′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上的单调性是不一致的，因为b≤0.
由此得，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
因此，当x∈时，f′(x)g′(x)<0，
故由题设得a≥－且b≥－，从而－≤a<0，于是－≤b≤0.因此|a－b|≤，且当a＝－，b＝0时等号成立．
又当a＝－，b＝0时，f′(x)g′(x)＝6x，从而当x∈时，f′(x)g′(x)>0，
故函数f(x)和g(x)在上单调性一致．
因此|a－b|的最大值为.
12．某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是
p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．
该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是
q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)，
(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37；
当2≤x≤12时，
f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)
＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)．
验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x，
∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)该商场预计销售该商品的月利润为
g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)
＝6x3－185x2＋1400x(x∈N*,1≤x≤12)，
g′(x)＝18x2－370x＋1400，
令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0；
当5∴当x＝5时，
g(x)max＝g(5)＝3125(元)．
综上5月份的月利润最大是3125元．