北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习数学文试题

2012届高三年级第二次综合练习
数学（文）试题
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则
A．命题“或”是假命题 B．命题“或”是假命题
C．命题“且”是真命题 D．命题“且”是真命题
4．已知△中，， ，，且△的面积为，则
A． B． C．或 D．或
5．已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
6．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
7． 给出下列命题：
函数的最小正周期是；
，使得；
已知向量，，，则的充要条件是．
其中所有真命题是
A． B． C． D．
8．已知函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．函数，的单调递增区间是 ．
10．运行如图所示的程序框图，输出的结果是 ．
11．直线与圆相交于两点，若，则实数的值是 ．
12．若实数满足则的最小值是 ．
13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为 件．当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入年总投资）
14．在给出的数表中，第行第列的数记为，且满足，
，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列，则数列的通项公式是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上．
15．（本小题满分13分）
已知函数的图象过点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，角，，的对边分别是，，，若，求的取值范围．
16．（本小题满分13分）
高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：
分数段 （70,90） [90,100） [100,120） [120,150]
人数 5 a 15 b
规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名．
（Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；
（Ⅱ）当a =11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；
（Ⅲ）从分数在（70,90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图，四边形为正方形，平面，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若点在线段上，且满足,
求证：平面；
（Ⅲ）试判断直线与平面是否垂直？若垂
直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
18．（本小题满分14分）
设函数．
（Ⅰ）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有．
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点M到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）写出曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已知数列，满足，且当（）时，．令．
（Ⅰ）写出的所有可能取值；
（Ⅱ）求的最大值．
数学试卷答案（文史类）
一、选择题：
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 D B C A C D D B
二、填空题：
题号 （9） （10） （11） （12）
答案 5 或0
题号 （13） （14）
答案 16 65
注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分.
三、解答题：
（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）． ……3分
由已知点在函数的图象上，所以，
. ………5分
(Ⅱ) 因为，
所以=2，
所以，即. ………7分
因为，所以，所以， ………8分
又因为，所以，. ………10分
所以，， ………11分
所以=. ………13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则
.
答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为. ………3分
（Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当时，成绩优秀的学生人数为，所以
.
答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为. ………7分
（Ⅲ）设“从分数在的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事
件C.
记这5名学生分别为a,b,c,d,e，其中希望生为a,b.
从中任选2名，所有可能的情况为：ab, ac, ad, ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种. ………9分
其中恰有1名希望生的情况有ac, ad, ae，bc，bd，be，共6种. ………11分
所以.
答：从分数在的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为. ………13分
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，所以与确定平面，
因为平面，所以. ………2分
由已知得且，
所以平面. ………3分
又平面,
所以. ………4分
（Ⅱ）过作,垂足为，连结,则. .………5分
又,所以.
又且,所以.
.………6分
且,所以四边形为平行四边形.
………7分
所以.
又平面,平面,
所以平面. ………9分
（Ⅲ）直线垂直于平面. ………10分
证明如下：
由（Ⅰ）可知，.
在四边形中，，，
所以，则.
设,因为,故
则,即. ………12分
又因为，所以平面. ………13分
（18）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）的定义域为, . ………1分
. ………2分
根据题意，，
所以，即，
解得. .………4分
（Ⅱ）.
（1）当时，因为，所以，，
所以，函数在上单调递减. ………6分
（2）当时，
若，则，，函数在上单调递减；
若，则，，函数在上单调递增. …8分
综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知.
设，即.
. ………10分
当变化时，，的变化情况如下表：
－ 0 ＋
极小值
是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.
可见， .………13分
所以，即，所以对于定义域内的每一个，都有. ………14分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题设知,
根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，
设其方程为
则， ，，所以的方程为. ………5分
（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，
. . ………6分
设，，
则， ..………7分
设的中点为，则，，即. ………8分
因为，
所以直线的垂直平分线的方程为， ……9分
令解得，， .………10分
当时，因为，所以； .………12分
当时，因为，所以. .………13分
综上得点纵坐标的取值范围是. .………14分
（20）（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：
（1）此时；
（2）此时；
（3）此时；
（4）此时；
（5）此时；
（6）此时.
所以，的所有可能取值为：，，，，． .………5分
（Ⅱ）由，可设，则或（，），
，
，
…
，
所以． ………7分
因为，所以，且为奇数，是由个1和个构成的数列．
所以
．
则当的前项取，后项取时最大，
此时．.……10分
证明如下：
假设的前项中恰有项取，则
的后项中恰有项取，其中，，，．
所以
．
所以的最大值为． .………13分
正视图
俯视图
侧视图
x=1,y=1,z=2
z≤4
开始
结束
是
否
z=x+y
输出z
y = z
x = y
（第10题图）
第1行 1 2 4 8 …
第2行 2 3 5 9 …
第3行 3 5 8 13 …
… …
P