2021-2022学年人教版九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（60张）

一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．
在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊
到一般的认识方法．
教学重点
一元二次方程根与系数的关系的探究及简单应用．
根与系数关系的应用．
教学难点
知识回顾
一元二次方程的一般形式是什么？
一元二次方程的求根公式是什么？
探究
方程
-3x+2=0
-2x-3=0
-5x+4=0
2
1
3
2
-1
3
2
-3
1
4
5
4
你能发现? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? 与系数之间的关系吗？
=-p
=q
思考
=-p
=q
思考
=-p
=q
它的两根之和，两根之积
与系数a、b、c之间又有什么样的关系呢？
探究
方程
9? ?-6x+1=0
3? ?-4x-1=0
3? ?+7x+2=0
-2
你能发现? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? 与系数之间的关系吗？
=
=
证明
根据求根公式可知：
=
=
根据求根公式可知：
证明
=
=
归纳
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
=
=
这个关系也
叫韦达定理
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
? ? ? ?韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一．
第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进．?
? ? ? ? 他生于法国的普瓦图．年轻时学习法律当过律师，
后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战
争中曾为政府破译敌军的密码．
? ? ? ? 韦达还致力于数学研究，第一个有意识和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步．韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）．
? ? ? ? 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”．
韦达（1540－1603）
例题
根据一元二次方程根与系数的关系，
求下列方程两根的和与积：
根据一元二次方程根与系数的关系，
求下列方程两根的和与积：
例题
根据一元二次方程根与系数的关系，
求下列方程两根的和与积：
例题
能直接看出
a、b、c吗？
不能，得先化为一般式
归纳
使用根与系数关系求两根之和或两根之积时需要注意什么？
1．如果方程不是一般形式，一定要先变为____________．
一般形式
2．一定要牢记公式．特别的，使用
时，
注意不要把_______漏了．
“-”
练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积：
练习
当m=________时，此方程的两根互为相反数.
当m=________时，此方程的两根互为倒数.
-1
1
练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积：
总结
这节课我们学到了什么？
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
=
=
这个关系也
叫韦达定理
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
已知一根求另一根
提示：可以直接把根代入，也可以利用两根之积直接求另一根．
已知一根求另一根
-3
已知一根求另一根
答案：另一根是-1，m=-2．
求两根的对称式
=3
求两根的对称式
4
1
14
12
求两根的对称式
（1）7
求两根的对称式
（4）3
求两根的对称式
（6）10
归纳总结
常见的两根对称式求值
已知对称式反求参数
答案：k=-2．
注：使用根与系数的关系时，得满足____________的前提条件
求两根之差的绝对值
答案：k的值为9或-3．
归纳总结
已知两根构造方程
求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
已知两根构造方程
求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
已知两根构造方程
以2和-3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为________．
提示：利用根与系数关系直接求出系数．
看错类问题
小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所
求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2．你
知道原来的方程是什么吗？
提示1：把精力放在没看错的系数上．
提示2：可以假设二次项系数为1．
看错类问题
甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出
的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3．则
这个一元二次方程为________________??
提示1：把精力放在没看错的系数上．
提示2：可以假设二次项系数为1．
已知两个数的和与积求这两个数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数分别是多少？
提示：可以把这两个数看作某个一元二次方程的两根．
答案：2，-1．
已知根的范围求参数范围
一正根，一负根
两个正根
两个负根
已知根的范围求参数范围
解： 由已知，
即
已知根的范围求参数范围
已知根的范围求参数范围
已知根的范围求参数范围
提示：需要分类讨论
已知根的范围求参数范围
(1)求证：无论m取何值时,方程总有两不相等的实数根．
(2)当m取何值时，方程的一根大于1，另一根小于1？
分析: (1) 列出△的代数式，证其恒大于零? ? ?
复习巩固
1.解下列方程：
复习巩固
2.填空：
复习巩固
3. 用配方法解下列方程：
复习巩固
4. 利用判别式判断下列方程的根的情况：
复习巩固
5. 用公式法解下列方程：
复习巩固
6. 用因式分解法解下列方程：
复习巩固
7. 求下列方程两个根的和与积：
综合运用
综合运用
9. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，
? ? 所有公司共签订了45 份合同，共有多少家公司参加商品交
? ? 易会？?
综合运用
综合运用
拓广探索
12. 一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有
? ? ? 18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存
? ? ? 在，说明得出结论的道理.??
拓广探索
黄金分割数
? ? ? ?本章引言中有一个关于人体雕塑的问题.? 要使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比, 等于下部与全部(全身)的高度比,这个高度比应是多少？? ? ? ?? ? ?把上面的问题一般化, 如图1, 在线段AB上找一个点C, C 把AB?分为AC 和CB?
两段，其中AC 是较小的一段，现要使AC :CB=CB : AB. 为简单起见, 设AB=1, CB=x, 则AC=1一x. 代入AC :CB=CB : AB，即(1-x):x=x:1，也即
A
C
B
1-x
x
图1
黄金分割数
图2
A
B
C
D
E
M
N
黄金分割数
? ? ? ?长期以来，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数. 一
些美术家认为: 如果人的上、下身长之比接近黄金分割数， 那
么可以增加美感. 据说，一些名画和雕塑中的人体大都符合这
个比，一位科学家曾提出: 在一棵树的生长过程中,??
? ? ? ?优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家
华罗庚曾为普及它作出重要贡献. 优选法中有一种0.618法应用
了黄金分割数. 同学们可以查阅资料，了解0.618法的应用.