5-6空间向量的应用导学案-高考数学一轮复习
文档属性
| 名称 | 5-6空间向量的应用导学案-高考数学一轮复习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 325.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-12 20:02:54 | ||
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文档简介
5.空间向量的运算及应用（位置关系的证明）
1．三个基本定理
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使 ．
（2）共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 ，使得 ．
（3）空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 ．
2．直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线 ，则称此向量为直线的方向向量．
（2）平面的法向量：直线⊥平面α，取直线 ，则向量叫作平面的法向量．
3．空间中平行、垂直关系的向量表示
设两直线l、m的方向向量分别为a，b，两平面α、β的法向量分别为u，v，则
平
行 线线平行 l∥m?
线面平行 l∥α? ? ＝0
面面平行 α∥β? ?
垂
直 线线垂直 l⊥m? ＝0
线面垂直 l⊥α? ?
面面垂直 α⊥β?u⊥v ?
〖拓展知识〗用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：
1.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
2．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
3．（多选）（2021届建邺区校级期中）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，，2，，，2，．下列结论正确的有
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________．
6.空间向量的应用（空间角的求法）
1．坐标法求线线、线面角的方法
异面直线所成的角 设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a、b．则cos θ＝
直线与平面所成的角 设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝
二面角 设二面角α—l—β的二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝ ．
〖拓展知识〗
1．向量的夹角与异面直线所成角的区别
(1)当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；
当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
(2)两异面直线所成角θ的范围是，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．求两异面直线所成的角可利用公式cos〈a，b〉＝，但注意应有cos θ＝|cos〈a，b〉|．
2．直线(或斜线)与平面所成角的几点认识
(1)斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是；
(2)设在平面α内射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则||＝||．cos θ；
(3)平面α的法向量n与所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．
3．利用向量求二面角的方法
(1)基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；
(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝结合图形求得．
4．利用空间向量求点到平面距离的方法
如图，设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝．
1．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为( )
A．30° B．60° C．75° D．90°
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（多选）(2021届广州调研)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列命题正确的是( )
A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60° D．正方体的体积为|(·)|
4. 已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B. 135° C. 45°或135° D. 90°
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6. (多选)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE. 则下列说法正确的是( )
A. 平面ABF的法向量为n＝(0，－1，1)
B. 二面角P－AB－F的大小为
C. 点H的坐标为(2，1，1)
D. PH＝2
7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则二面角E－AC－B的大小为_____.
1．三个基本定理
（1）共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使 ．
（2）共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 ，使得 ．
（3）空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3 ，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 ．
2．直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线 ，则称此向量为直线的方向向量．
（2）平面的法向量：直线⊥平面α，取直线 ，则向量叫作平面的法向量．
3．空间中平行、垂直关系的向量表示
设两直线l、m的方向向量分别为a，b，两平面α、β的法向量分别为u，v，则
平
行 线线平行 l∥m?
线面平行 l∥α? ? ＝0
面面平行 α∥β? ?
垂
直 线线垂直 l⊥m? ＝0
线面垂直 l⊥α? ?
面面垂直 α⊥β?u⊥v ?
〖拓展知识〗用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：
1.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
2．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
3．（多选）（2021届建邺区校级期中）已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，，2，，，2，．下列结论正确的有
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________．
6.空间向量的应用（空间角的求法）
1．坐标法求线线、线面角的方法
异面直线所成的角 设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a、b．则cos θ＝
直线与平面所成的角 设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝
二面角 设二面角α—l—β的二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝ ．
〖拓展知识〗
1．向量的夹角与异面直线所成角的区别
(1)当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；
当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
(2)两异面直线所成角θ的范围是，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．求两异面直线所成的角可利用公式cos〈a，b〉＝，但注意应有cos θ＝|cos〈a，b〉|．
2．直线(或斜线)与平面所成角的几点认识
(1)斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是；
(2)设在平面α内射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则||＝||．cos θ；
(3)平面α的法向量n与所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．
3．利用向量求二面角的方法
(1)基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；
(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝结合图形求得．
4．利用空间向量求点到平面距离的方法
如图，设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝．
1．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为( )
A．30° B．60° C．75° D．90°
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（多选）(2021届广州调研)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列命题正确的是( )
A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60° D．正方体的体积为|(·)|
4. 已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B. 135° C. 45°或135° D. 90°
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6. (多选)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE. 则下列说法正确的是( )
A. 平面ABF的法向量为n＝(0，－1，1)
B. 二面角P－AB－F的大小为
C. 点H的坐标为(2，1，1)
D. PH＝2
7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则二面角E－AC－B的大小为_____.