广东省汕头市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析
文档属性
| 名称 | 广东省汕头市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 756.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-12 18:52:20 | ||
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文档简介
试卷类型：A
汕头市2020~2021学年度普通高中期末教学质量监测
高二数学
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，监考员将答题卡交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集false，集合false，则集合false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.设复数false（i为虚数单位，则false（ ）
A.false B.false C.false D.2
3.已知平面向量false，则k＝2是false与false平行的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4、已知等差数列false的前n项和为false的展开式中含false的项的系数恰为false，则false（ ）
A.－96 B.96 C.－80 D.80
5.已知三棱锥P－ABC中，PA＝4，AB＝AC＝false，BC＝6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.定义2×2知阵false，若false，则false（ ）
A.图象关于false中心对称 B.图象关于直线false对称
C.在区间false上的最大值为false D.周期为false的奇函数
7.点A在直线y＝x上，点B在曲线false上，则false的最小值为（ ）
A.false B.1 C.false D.2
8.已知数列false的前n项和false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范国．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（部）
52
95
a
185
227
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为false，则下列说法正确的是（ ）
A.a＝152 B.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台
C.y与x正相关 D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
10.设false分别是双曲线C：false的左、右焦点，且false，则下列结论正确的是（ ）
A.s＝8 B.false到渐近线的距离随着t的增大而增大
C.t的取值范围是（－32，32） D.当t＝4时，C的实轴长是虚轴长的false倍
11.在棱长为1的正方体false中，M是线段false上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.四面体false的体积恒为定值
B.直线false与平面false所成角正弦值的最大值为false
C.异面直线BM与AC所成角的范围是false
D.当false时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点false，使得f（false）＝false，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知false，则false ．
14.已知抛物线C：false的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若false，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为 ．
15.六个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为 ．
16.已知函数false，则函数f（x）的最大值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C，设△ABC的面积为S，已知 ．任选一个条件①false；②false，补充在上面横线处，然后解答补充完整的题目．
（1）求sinB的值；
（2）若S＝42，a＝10，求b的值．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）
已知等差数列false的前n项和为false，且满足false．
（1）求false的通项公式；
（2）记false，求false的前n项和false．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分12分）
端午假期即将到来，某超市举办“高考高棕”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：
从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：
从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若小清、小北均分別消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C：false（a＞b＞0）的离心率为false，焦距为false．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足false（O为坐标原点），求四边形OANB面积的最大值．
22.（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）证明：对任意的false，都有false；
（2）设m＞n＞0，比较false与false的大小，并说明理由．
高二数学测试参考答案
一、单选题
DCCB AAAB
二、多选题
CD AD ABD ACD
三、填空
false； false； false； false
1.D
【详解】∵集合false．
false
2.C
【详解】
复数false，则false．
3.C
【详解】由false与false平行得k×1－2×1＝0，∴k＝2，所以k＝2是false与false平行的充要条件．
4.B
【详解】因为false的展开式的通项公式为false，
所以当r＝2时，含false的项的系数恰为false，
又等差数列false的前n项和为false，false的展开式中含false的项的系数恰为false，
所以false．
5.A
【详解】∵底面△ABC中，AB＝AC＝false，BC＝6，
false，
∴△ABC的外接圆半径为false．
∵PA⊥面ABC，∴三棱锥外接球的半径false，
所以三棱维P－ABC外接球的体积false．
6.A
【详解】由题意得false
false
false
false，故图象关于false中心对称．
7.A
【详解】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线false相切，
则两平行线间的距离即为false的最小值．
设直线y＝x＋b与曲线false的切点为false，
则由切点还在直线y＝x＋b上可得false，
由切线斜率等于切点的导数值可得false，
联立解得m＝1，b＝－1，
由平行线间的距离公式可得false的最小值为false．
8.B
【详解】false，当false时，false，
所以false，又false，所以
false
falsefalse
9CD
【详解】由表中数据可知false，
又因为回归方程为false，
代入回归方程，解得false，
所以false，
得a＝151，
由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，
将x＝7代入回归方程得false，
因为44＞0，所以y与x正相关，
10.AD
【详解】因为false，所以s＝8，故A正确；
因为false到渐近线的距离等于虚半轴长为false，其在false上单递减，故B错误；
因为双曲线焦点在x轴上，由false，且s＝8，得t的取值范国是（－8，8），故C错误；
当t＝4时，C的实轴长为false，虚轴长4，C的实轴长是虚轴长的false倍，故D正确．
11.ABD
【详解】
对于A选项，根据正方体的特征可得false，
所以false//平面false，所以线段false上的点到平面false的距离相等，
因为三角形false的面积为定值，M是线段false上一个动点，
所以四面体false的体积为定值，故A正确；
对于B选项，设直线false与平面false所成的角为false，
M到平面false的距离为d，则false，
因为false，所以false//平面false，
所以M到平面false的距离与false到平面false的距离相等，
连接false，由false可得false，
又false，
所以false，易知当M为false的中点时，false最小，为false，
此时false取得最大值，为false，故B正确；
对于C选项，设异面直线BM与AC所成的角为false，
当M与false或false重合时，false取得最小值，为60°，
当M为false的中点时，false取得最大值，为90°，故C选项错误；
对于D选项，过点M作EF//BD，分别交false于点E，F，连接DE，BF，则四边形DEFB为等腰梯形，故D正确．
12.ACD
【详解】根据定义可知：若f（x）有不动点，则f（x）＝x有解．
A.令false，所以false，易知x＝1是方程的一个解，故f（x）是“不动点”函数；
B．令false，所以false，方程的false，故方程无解，所以f（x）不是“不动点”函数；
C．当x≤1时，令false，所以false或x＝1，所以f（x）是“不动点”函数；
D．令false，所以false，所以f（x）是“不动点”函数．
13.false
【详解】false
false
false
false
14.false
【详解】如图所示：
由于false，所以l⊥x轴，
所以圆心坐标为F（1，0），半径为r＝2，
弦长为false
15.false
【详解】根据题意，分2步分析：①先从6个人里选2人，其位置不变，有false种选法，
②对于剩余的四人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有三种站法，被站了自己位置的那个人只能站在另外三个位置中的一个，选定后此时剩下两人只有一种站法，因此四个人调换有3×3＝9种调换方法，
故不同的调换方法有15×9＝135种．而基本事件总数为false，所以所求概率为false．
16.false
【解析】当x≤0时，false；
当x＞0时，false，
令false，当且仅当false，即x＝1时取等号，
即当x＝1时，false，
令false，
又因为false，
则false，
故函数f（x）的最大值是false．
四、解答题
17.【详解】
选择条件①
（1）false，
所以false………………1
整理得：false．
即false．………………2
整理可得false，………………3
又sinB＞0，所以cosB＞0，所以false．………………4
故sinB＝false．……………………5
（2）由（1）知sinB＝false，又S＝42，a＝10，
则false，……………………6
解得c＝14………………………7
将S＝42，a＝10，c＝14代入false中，
得false，…………………9
解得false．……………………10
选择条件②
（1）因为false，
由正弦定理得，false，……………1
false，………………2
即false，………………3
在△ABC中，false，所以false，…………………4
故false．……………………5
（2）由（1）知false，又S＝42，a＝10，
则false，…………6
解得c＝14……………………7
由余弦定理得
false
false……………………9
false．………………10
18.【解析】（1）设等差数列false的公差为d，…………………1
则false……………………2
false，………………3
解得false……………………4
故false…………………5
（2）false
当false时false，
false，……………………8
当n＞6时，false，
false
false……………………11
所以false．……………………12
19.【详解】
解：（1）∵△PAD≌△PAB（SSS）
∴∠PAD＝∠PAB＝90°
∴PA⊥AB，PH⊥AD，又∵false
PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PA⊥BC
∵ABCD为正方形 ∴AB⊥BC
又false，PA，AB?平面PAB
∴BC⊥平面PAB
∴AE?平面PAB ∴AE⊥BC ……………………2
∵PA＝AB，E为线段PB的中点
∴AE⊥PB…………………………3
又false，……………………4
PB，BC?半由PBC
∴AE⊥PBC……………………5
（2）存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，………………6
不妨设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，2），P（2，0，0），E（1，1，0）
false
设false，则false
设平向AEF的一个法向量为false
则false false……………………7
令false，则false false……………………8
设平面PCD的一个法向量为false
则false false……………………9
令false，则false false……………………10
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
false，解得false．………………11
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°……………12
20.【详解】
解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件A，则false．……………………2
所以小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为
false．…………………………4
（2）若小杰选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为0、600、700、1000
false
false……………………6
故X的分布列为
X
0
600
700
1000
P
false
false
false
false
所以false（元）…………………7
若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝1000－200Y……………8
由已知可得false，故false．……………………9
所以false（元）………………………10
因为false，………………………11
所以小杰选择第一种抽奖方案更合算．………………………12
21.【详解】
（1）设椭圆的焦距为false………………………1
∵离心率为false．………………2
false…………………………3
∴椭圆C的方程为false．……………………………………4
（2）false四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；…………………5
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，直线l与椭圆于false两点，由false．……………………6
由false．………………7
false，……………………8
false
点O到直线l的距离false，
false，
false
false…………………………10
令false，则false（由上式知t＞0），
false．
当且仅当false，即false时取等号，……………………………11
∴当k＝±false时，平行四边形OANB的面积最大值为2……………………12
22.【详解】
（1）证明：f（x）和g（x）的定义域均为false
因为false，故f（x）在（0，1）上是单调递増的，在false上是单调递减的………………1
false，……………………2
false，则false，
故g（x）在false上是单调递増的，在false上是单调递减的…………………………3
故false，…………………………4
false，所以对任意的false，都有false．………………5
（2）解：false，……………………6
且false，…………………7
false，故只需比较false与false的大小，
令false．…………………………8
设false……………………9
则false，……………………10
因为t＞1，所以false，所以函数G（t）在false上单调递增，
故false，所以false对任意t＞1恒成立，…………………11
即false，从而有false．……………………12
汕头市2020~2021学年度普通高中期末教学质量监测
高二数学
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，监考员将答题卡交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集false，集合false，则集合false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.设复数false（i为虚数单位，则false（ ）
A.false B.false C.false D.2
3.已知平面向量false，则k＝2是false与false平行的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4、已知等差数列false的前n项和为false的展开式中含false的项的系数恰为false，则false（ ）
A.－96 B.96 C.－80 D.80
5.已知三棱锥P－ABC中，PA＝4，AB＝AC＝false，BC＝6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.定义2×2知阵false，若false，则false（ ）
A.图象关于false中心对称 B.图象关于直线false对称
C.在区间false上的最大值为false D.周期为false的奇函数
7.点A在直线y＝x上，点B在曲线false上，则false的最小值为（ ）
A.false B.1 C.false D.2
8.已知数列false的前n项和false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范国．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y（部）
52
95
a
185
227
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为false，则下列说法正确的是（ ）
A.a＝152 B.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台
C.y与x正相关 D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
10.设false分别是双曲线C：false的左、右焦点，且false，则下列结论正确的是（ ）
A.s＝8 B.false到渐近线的距离随着t的增大而增大
C.t的取值范围是（－32，32） D.当t＝4时，C的实轴长是虚轴长的false倍
11.在棱长为1的正方体false中，M是线段false上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.四面体false的体积恒为定值
B.直线false与平面false所成角正弦值的最大值为false
C.异面直线BM与AC所成角的范围是false
D.当false时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点false，使得f（false）＝false，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知false，则false ．
14.已知抛物线C：false的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若false，则y轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为 ．
15.六个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为 ．
16.已知函数false，则函数f（x）的最大值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C，设△ABC的面积为S，已知 ．任选一个条件①false；②false，补充在上面横线处，然后解答补充完整的题目．
（1）求sinB的值；
（2）若S＝42，a＝10，求b的值．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.（本小题满分12分）
已知等差数列false的前n项和为false，且满足false．
（1）求false的通项公式；
（2）记false，求false的前n项和false．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分12分）
端午假期即将到来，某超市举办“高考高棕”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：
从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：
从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．
（1）若小清、小北均分別消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率；
（2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C：false（a＞b＞0）的离心率为false，焦距为false．
（1）求圆C的方程；
（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足false（O为坐标原点），求四边形OANB面积的最大值．
22.（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）证明：对任意的false，都有false；
（2）设m＞n＞0，比较false与false的大小，并说明理由．
高二数学测试参考答案
一、单选题
DCCB AAAB
二、多选题
CD AD ABD ACD
三、填空
false； false； false； false
1.D
【详解】∵集合false．
false
2.C
【详解】
复数false，则false．
3.C
【详解】由false与false平行得k×1－2×1＝0，∴k＝2，所以k＝2是false与false平行的充要条件．
4.B
【详解】因为false的展开式的通项公式为false，
所以当r＝2时，含false的项的系数恰为false，
又等差数列false的前n项和为false，false的展开式中含false的项的系数恰为false，
所以false．
5.A
【详解】∵底面△ABC中，AB＝AC＝false，BC＝6，
false，
∴△ABC的外接圆半径为false．
∵PA⊥面ABC，∴三棱锥外接球的半径false，
所以三棱维P－ABC外接球的体积false．
6.A
【详解】由题意得false
false
false
false，故图象关于false中心对称．
7.A
【详解】设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线false相切，
则两平行线间的距离即为false的最小值．
设直线y＝x＋b与曲线false的切点为false，
则由切点还在直线y＝x＋b上可得false，
由切线斜率等于切点的导数值可得false，
联立解得m＝1，b＝－1，
由平行线间的距离公式可得false的最小值为false．
8.B
【详解】false，当false时，false，
所以false，又false，所以
false
falsefalse
9CD
【详解】由表中数据可知false，
又因为回归方程为false，
代入回归方程，解得false，
所以false，
得a＝151，
由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，
将x＝7代入回归方程得false，
因为44＞0，所以y与x正相关，
10.AD
【详解】因为false，所以s＝8，故A正确；
因为false到渐近线的距离等于虚半轴长为false，其在false上单递减，故B错误；
因为双曲线焦点在x轴上，由false，且s＝8，得t的取值范国是（－8，8），故C错误；
当t＝4时，C的实轴长为false，虚轴长4，C的实轴长是虚轴长的false倍，故D正确．
11.ABD
【详解】
对于A选项，根据正方体的特征可得false，
所以false//平面false，所以线段false上的点到平面false的距离相等，
因为三角形false的面积为定值，M是线段false上一个动点，
所以四面体false的体积为定值，故A正确；
对于B选项，设直线false与平面false所成的角为false，
M到平面false的距离为d，则false，
因为false，所以false//平面false，
所以M到平面false的距离与false到平面false的距离相等，
连接false，由false可得false，
又false，
所以false，易知当M为false的中点时，false最小，为false，
此时false取得最大值，为false，故B正确；
对于C选项，设异面直线BM与AC所成的角为false，
当M与false或false重合时，false取得最小值，为60°，
当M为false的中点时，false取得最大值，为90°，故C选项错误；
对于D选项，过点M作EF//BD，分别交false于点E，F，连接DE，BF，则四边形DEFB为等腰梯形，故D正确．
12.ACD
【详解】根据定义可知：若f（x）有不动点，则f（x）＝x有解．
A.令false，所以false，易知x＝1是方程的一个解，故f（x）是“不动点”函数；
B．令false，所以false，方程的false，故方程无解，所以f（x）不是“不动点”函数；
C．当x≤1时，令false，所以false或x＝1，所以f（x）是“不动点”函数；
D．令false，所以false，所以f（x）是“不动点”函数．
13.false
【详解】false
false
false
false
14.false
【详解】如图所示：
由于false，所以l⊥x轴，
所以圆心坐标为F（1，0），半径为r＝2，
弦长为false
15.false
【详解】根据题意，分2步分析：①先从6个人里选2人，其位置不变，有false种选法，
②对于剩余的四人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有三种站法，被站了自己位置的那个人只能站在另外三个位置中的一个，选定后此时剩下两人只有一种站法，因此四个人调换有3×3＝9种调换方法，
故不同的调换方法有15×9＝135种．而基本事件总数为false，所以所求概率为false．
16.false
【解析】当x≤0时，false；
当x＞0时，false，
令false，当且仅当false，即x＝1时取等号，
即当x＝1时，false，
令false，
又因为false，
则false，
故函数f（x）的最大值是false．
四、解答题
17.【详解】
选择条件①
（1）false，
所以false………………1
整理得：false．
即false．………………2
整理可得false，………………3
又sinB＞0，所以cosB＞0，所以false．………………4
故sinB＝false．……………………5
（2）由（1）知sinB＝false，又S＝42，a＝10，
则false，……………………6
解得c＝14………………………7
将S＝42，a＝10，c＝14代入false中，
得false，…………………9
解得false．……………………10
选择条件②
（1）因为false，
由正弦定理得，false，……………1
false，………………2
即false，………………3
在△ABC中，false，所以false，…………………4
故false．……………………5
（2）由（1）知false，又S＝42，a＝10，
则false，…………6
解得c＝14……………………7
由余弦定理得
false
false……………………9
false．………………10
18.【解析】（1）设等差数列false的公差为d，…………………1
则false……………………2
false，………………3
解得false……………………4
故false…………………5
（2）false
当false时false，
false，……………………8
当n＞6时，false，
false
false……………………11
所以false．……………………12
19.【详解】
解：（1）∵△PAD≌△PAB（SSS）
∴∠PAD＝∠PAB＝90°
∴PA⊥AB，PH⊥AD，又∵false
PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PA⊥BC
∵ABCD为正方形 ∴AB⊥BC
又false，PA，AB?平面PAB
∴BC⊥平面PAB
∴AE?平面PAB ∴AE⊥BC ……………………2
∵PA＝AB，E为线段PB的中点
∴AE⊥PB…………………………3
又false，……………………4
PB，BC?半由PBC
∴AE⊥PBC……………………5
（2）存在定点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，………………6
不妨设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），C（0，2，2），D（0，0，2），P（2，0，0），E（1，1，0）
false
设false，则false
设平向AEF的一个法向量为false
则false false……………………7
令false，则false false……………………8
设平面PCD的一个法向量为false
则false false……………………9
令false，则false false……………………10
∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
false，解得false．………………11
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°……………12
20.【详解】
解：（1）方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件A，则false．……………………2
所以小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为
false．…………………………4
（2）若小杰选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为0、600、700、1000
false
false……………………6
故X的分布列为
X
0
600
700
1000
P
false
false
false
false
所以false（元）…………………7
若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝1000－200Y……………8
由已知可得false，故false．……………………9
所以false（元）………………………10
因为false，………………………11
所以小杰选择第一种抽奖方案更合算．………………………12
21.【详解】
（1）设椭圆的焦距为false………………………1
∵离心率为false．………………2
false…………………………3
∴椭圆C的方程为false．……………………………………4
（2）false四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；…………………5
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，直线l与椭圆于false两点，由false．……………………6
由false．………………7
false，……………………8
false
点O到直线l的距离false，
false，
false
false…………………………10
令false，则false（由上式知t＞0），
false．
当且仅当false，即false时取等号，……………………………11
∴当k＝±false时，平行四边形OANB的面积最大值为2……………………12
22.【详解】
（1）证明：f（x）和g（x）的定义域均为false
因为false，故f（x）在（0，1）上是单调递増的，在false上是单调递减的………………1
false，……………………2
false，则false，
故g（x）在false上是单调递増的，在false上是单调递减的…………………………3
故false，…………………………4
false，所以对任意的false，都有false．………………5
（2）解：false，……………………6
且false，…………………7
false，故只需比较false与false的大小，
令false．…………………………8
设false……………………9
则false，……………………10
因为t＞1，所以false，所以函数G（t）在false上单调递增，
故false，所以false对任意t＞1恒成立，…………………11
即false，从而有false．……………………12
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