河南省许昌市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案

许昌市2020—2021学年第二学期高中期末考试
高二理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false满足false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量false与月份false之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是false，则预测5月份的销量是（ ）
月份false
1
2
3
4
销量false
4.5
4
3
2.5
A．2 B．1.5 C．2.5 D．1.6
5．函数false在false处的切线方程为false，则false（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．若false，false，false，false，则false，false，false大小关系正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．执行如图所示的程序框图，则输出false的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．false
8．已知双曲线false，false，false为双曲线false的左右焦点，false在双曲线false上，若false，则双曲线false的离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．若false，false，则“false”的一个充分不必要条件是（ ）
A．false B．false C．false且false D．false或false
10．在区间false上任取两个数，则这两个数之和小于false的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知函数false（其中false，false）满足false，直线false为false的一条对称轴，且函数false在false上单调，则实数false的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．14 D．18
12．数列false的首项false，且false，令false，则false（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．false的展开式的常数项是______．
14．“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有5名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为______．
15．已知抛物线false．如图，过焦点false作斜率为false直线交抛物线false于false，false两点，交抛物线false的准线于点false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．已知函数false，在false处取得极小值，则实数false的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17．（12分）在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false．
（1）若false，求false的值；
（2）若false的平分线交false于false，且false，求false的最小值．
18．（12分）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金600元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；
案二：交纳延保金7845元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维费false元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：
维修次数
0
1
2
3
机器台数
10
20
40
30
以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记false表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求false的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．
19．（12分）如图，四棱锥false中，底面false为正方形，false为等边三角形，平面false底面false，false为false的中点．
（1）求证：false；
（2）在线段false（不包括端点）上是否存在点false，使直线false与平面false所成角的正弦值为false，若存在，确定点false的位置；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知椭圆false，双曲线false，设椭圆false与双曲线false有相同的焦点，点false，false分别为椭圆false与双曲线false在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）设直线false与false轴相交于点false，过点false作直线交椭圆false于false，false两点（不同于false，false），求证：直线false与直线false的交点false在一定直线上运动，并求出该直线的方程．
21．（12分）已知函数false，其中false，false．
（1）若false恒成立，求false的取值范围；
（2）当false时，求证false．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系false中，以原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为false的曲线false与曲线false（false为参数）相交于false，false两点，曲线false是以false为直径的圆．
（1）求曲线false的极坐标方程．
（2）若过点false斜率为false的直线false与曲线false相交于false、false两点，求线段false中点false的坐标和线段false的长度．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知关于实数false的不等式false无解．
（1）求实数false的取值组成的集合false．
（2）已知false且false，false，求false的最小值．
许昌市2020—2021学年第二学期高中期末考试
高二理科数学参考答案
1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．D 9．C 10．C
11．C
【解析】
∵函数false在区间false上单调，∴false，
即false，解得：false，
∵false是false的零点，直线false为false图象的一条对称轴，
∴false，即false，false
当false时，false，false，取false，
此时false在false上单调递减，满足题意；故选C．
12．2022
解：因为false，所以false，
所以false且false，
所以数列false是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以false，即false，
代入false得false，
设数列false的前false项和为false，则false，
则false．
13．61 14．false 15．false
16．false
函数的定义域为false，且false，
令false，则false，且false．
（1）当false时，false，函数false在false上单调递增，
所以当false时，false，当false时，false，
所以false在false处取得最小值，满足题意．
（2）当false时，即false，当false时，false，函数false在false上单调递增，
所以当false时，false，当false时，false，
所以false在false处取得最小值，满足题意．
（3）当false时，当false时，false，false单调递增，
当false时，false，false单调递减，
又false，所以当false时，false，false单调递减，不符合题意．
（4）当false时，即false，且当false时，false，false单调递减，false，
当false时，false，false单调递减，false，
所以false在false处取得极大值，不符合题意．
综上可知，实数false的取值范围是false．
17．解析：（1）由正弦定理，得false，即false；
由余弦定理得false，又false，所以false；所以false．
（2）由题意得false，即false，
所以false，即false；则false，
当且仅当false，即false，false时取等号；所以false的最小值为9．
解：（1）根据题意，随机变量false的所有取值为0，1，2，3，4，5，6，因为以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
所以，false，false，
false，false，
false，false，
false．
所以随机变量false的分布列为：
false
0
1
2
3
4
5
6
false
0．01
0．04
0．12
0．22
0．28
0．24
0．09
（2）设所需延保金与维修费用之和为false，若采用方案1，则随机变量false分布列为：
false
6000
7500
9000
10500
12000
false
0．17
0．22
0．28
0．24
0．09
则随机变量false的期望为：
false元．
若采用方案2，则随机变量false的分布列为：
false
7845
false
false
false
0．67
0．24
0．09
所以随机变量false的期望为：
false元．
令false，得false元，
①若false，则方案1的费用高，应选择方案2．
②若false，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案．
③若false，则方案2的费用高，应选择方案1．
19．解：（1）取false的中点false连false，false，∵false，∴false，
又面false面false，面false面false，false面false，∴false面false，
法一：false面false，则false，在正方形false内，false，false分别为false，false的中点，
∴false，则有false，
又false，∴false，
∴false，false，∴false平面false，又false平面false，
∴false．
法二：取false的中点false，连false，则false，false，false两两垂直，
∴分别以false，false，false所在的直线为false轴，false轴，false轴建立如图空间直角坐标系．
设false，则false，false，false，false，
∴false，false，则有false，∴false．
（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知false，false，false，false，
设false，则false，false．
设面false的法向量为false，则false，即false，
令false，则false．
设直线false与平面false所成的角为false，
false，
∴整理得：false，即false．
∴在false上存在点false，使得直线false与平面false成角的正弦值为false，此时点false为靠近点false的三等份点，
即false．
20．解：（1）因为椭圆false与双曲线false有相同的焦点，所以false，……①
将点false代入椭圆方程得false，……②
联立①②解得，false，false，所以椭圆false的标准方程为：false．
（2）由条件知直线false与直线false不重合，故直线false的斜率不为0，且false，
设直线false的方程为false，联立false可得false，
设false，false，false，则false，false，
由false，false，false共线得：false，
即：false，……③
同理，由false，false，false共线得：false，……④
由④﹣③消去false并整理得，false，
所以false，解得false，
综上所述，直线false与直线false的交点false在定直线false上运动．
21．解（1）设false，则false，
当false时，false，所以false单调递增，所以false，所以false单调递增，
此时false，即false，满足题意．
②当false时，在false内必然存在一个false，使得false．
即false在false上单调递减，在false上单调递增，此时false，不满足题意．
所以实数false的取值范围为false．
（2）当false时，false，所以要证false，
只需证false．
由（1）可知false时，false，即false，
所以要证false，只需证false，即证false．
设false，则false．
所以false在false上单调递增，所以false，即false，所以false．
所以当false时 false．
22．解：（1）false化为直角坐标方程为false①，
false化为普通方程为false②，
①②联立得false，false，所以曲线false的普通方程为false③．
故false的极坐标方程为false．
（2）依已知设直线false的参数方程为false（false为参数）并代入③式整理得false，
由于false，所以false，false，
所以false，false，false，
故false的坐标为false，由false的几何意义知false．
23．解：（1）设false，
由于false（当且仅当false时等号成立），所以函数false的最小值为false，故只需false，所以false，false．
（2）由（1）知false，
所以false
false（当且仅当false时取等号）．