浙江省宁波万里国际学校2012届高三上学期期中考试数学（理）试题

高三年级 理科数学试题卷
答卷时间：120分钟 满分：150 命题人：苏锡福 校对人：苏锡福
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集，集合，则
A． B．（0，1） C． D．
2．函数零点的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列说法正确的是
A．异面直线所成的角范围是
B．命题“”的否定是“”
C．若为假命题,则,均为假命题
D．成立的充分而不必要的条件是
4．对于平面、、和直线、、m、n,下列命题中真命题是
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若则
5．下列结论中正确的是
A．将的图象向右平移得到的图象
B．的一条对称轴是
C．若，则
D．的一个对称中心是
6．如图在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则
A． B． C． D．
7．过点的直线交圆于两点，且，则直线的方程为
A． B． C． D．
8. 已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
9. 设、满足约束条件 ，若目标函数的最大值为6，则的最小值为
A．2 B．3 C． D．4
10.定义在区间上的函数的图象如右下图所示，记以,,
为顶点的三角形的面积为，则函数的导函数的图象大致是
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．设复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为_______.
12．等差数列{}前n项和为，，则______.
13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体
积为 .
14．奇函数满足：，且在区间
与上分别递减和递增，则不等式的解集为_____.
15．如图已知是正四面体的棱中点，则
直线与平面所成角的正弦值为__________.
16．在中，角所对的边分别为,
且，则 .
17．已知水平地面上有一半径为4的篮球（球心），在
斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面
直角坐标系中，为原点，所在直线为轴，设椭圆
的方程为，篮球与地面的接触点
为，且，则椭圆的离心率为______.
三、解答题（本大题共5小题，共69分）
18．（本题满分13分）的三个内角依次成等差数列．
（Ⅰ）若，试判断的形状；
（Ⅱ）若为钝角三角形，且，求
的取值范围．
19．（本题满分14分）已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求数列的通项公式．
20．（本题满分14分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（III）在线段AB上是否存在点，使二面角
的大小为？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）已知、是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上,线段与轴的交点满足；⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当且满足时，求△AOB面积S的取值范围.
22．（本题满分14分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数在上的单调性；
（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直 若存在，
求出的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求证：．
宁波万里国际学校中学
2011-2012学年度第一学期期中考试
高三年级 理科数学答题卷
一、选择一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分
答 案
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11._____________________;12.__________________;13.____________________
14.____________;15.______________ _;16. ____________;17.________________
三、解答题：（本大题共5小题，共69分）
18.（本小题满分13分）
19. （本小题满分14分）20. （本小题满分14分）
21. （本小题满分14分）
22. （本小题满分14分）
2011-2012学年度第一学期期中考试
高三理科数学参考答案
∴的取值范围是……13分
解：（Ⅰ），当时，，，
∴ 时， ∴数列是首项为，公比为的等比数列，
，……………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴
∴
∴ ……………………………………………………………14分
解：（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。
的中位线 // ……2分
又 …………4分
（II）正方形中, , 由已知可得：，
,
………………………9分
（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，
设平面的法向量为，
则得，
取平面的一个法向量，
而平面的一个法向量为，二面角的大小为，，
故当时，二面角的大小为………………………14分
解：（Ⅰ） 点M是线段的中点 OM是的中位线
又 解得
椭圆的标准方程为 ………………………6分
故△AOB面积S的取值范围是 …………………………………………14分
解（1）∵，，∴． ……1分
①若，则，在上单调递增； ……2分
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增， ……4分
③若，则，函数在区间上单调递减. ……………………5分
（2）解：∵，，
， ……6分
由（1）易知，当时，在上的最小值：，即时，． ………………………8分
又，∴． ……9分
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．故不存在. ………………………10分
（3）证明：
，由（2）知，令得.……14分
A
B
D
C
P
A
B
H
座位号