广东省中山一中2011-2012学年高二下学期期中试题数学理

2011-2012学年第二学期高二第一次段考
理科数学试卷
球的体积公式：
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将答案填在答题卷上)
1、已知函数，且，则的值为 （ ）
A.1 B. C. D. 0
2、若复数，则=（ ）
A． B. C. D.3
3、展开式中所有项的系数和为（ ）
A. B.0 C.1 D.2
4、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是( )
A．假设三个内角都不大于 B．假设三个内角都大于
C．假设三个内角至多有一个大于 D．假设三个内角至多有两个大于
5、观察下列各式：则，则的末两位数字为（ ）
A. 49 B.43 C. 07 D. 01
6、曲线与坐标轴围成的面积是 （ ）
A.4 B. C.3 D.2
7、是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）
8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B.126 C.90 D.54
二、填空题(本大题有6个小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题卷上)
9、复数在复平面内,所对应的点在第 象限.
10、正六边形的对角线的条数是 . （用数字作答）
11、的展开式中常数项是 .（用数字作答）
12、若函数在上为增函数，则实数的取值范围是 .
13、 半径为r的圆的面积，周长，若将看作是上的变量，则……①，这里①式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于
①的式子： ……②，
②式可用语言表述为： .
14、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
15、（12分）现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
（1）恰有一件是次品的抽法有多少种？
（2）至少一件是次品的抽法有多少种？
16、（12分）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求，
（2）求展开式中的一次项的系数.
17、（14分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为饮料，另外4杯为饮料.公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令表示此人选对饮料的杯数.假设此人对和两种饮料没有鉴别能力.
（1）求的分布列；
（2）求此员工月工资被定为2100元的概率.
18、（14分）若函数在和处取得极值，
（1）求的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
19、（14分）已知数列的通项公式为，其前项和为，
（1）求并猜想的值；
（2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的结论.
20、（14分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：
①上恒成立
②
2011-2012学年第二学期高二第一次段考理科数学答题卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题(本大题有6个小题，每小题5分，共30分)
9、 10、 11、 12、
13、 14、
三、解答题 （本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算过程）
15、
16、
17、
18、
19、（14分）
20、
2011-2012学年第二学期高二第一次段考理科数学参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C B D C D B
二、填空题(本大题有6个小题，每小题5分，共30分)
9、 四 10、 9 11、 15 12、
13、 球的体积函数的导数等于求的表面积函数 14、 48
三、解答题 （本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
15、（12分）现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
（1）恰有一件是次品的抽法有多少种？
（2）至少一件是次品的抽法有多少种？
解：（1）恰有一件是次品，即从2件次品中抽1件，从8件正品中抽2件，
所以，共有种 …………………6分
（2）至少有一件是次品，可用排除法，10件中抽取3件有种，8件正品中抽取3件有种，
所以，共有 …………………12分
（采用其它方法只要答案正确都可以，列式正确，计算错误扣2-3分）
16、（12分）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
（1）求，
（2）求展开式中的一次项的系数.
解：（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得 …………………3分
解得 …………………5分
（2）由（1）知，展开式的第项为：
…………………8分
令得 …………………9分
此时 …………………11分
所以，展开式中的一次项的系数为 …………………12分
17、（14分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为饮料，另外4杯为饮料.公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令表示此人选对饮料的杯数.假设此人对和两种饮料没有鉴别能力.
（1）求的分布列；
（2）求此员工月工资被定为2100元的概率.
解：（1）由题意知：的所有可能取值为：0, 1, 2, 3, 4. ………………2分
,,,
, ………………7分
所以，的分布列为：
0 1 2 3 4
………………9分
（2）设此员工月工资被定为2100元为事件，则
…13分
所以此员工月工资被定为2100元的概率为 …………………14分
18、（14分）若函数在和处取得极值，
（1）求的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
解：（1）由题意， ………2分
由在和处取得极值得 ………5分
解得 ………7分
（2）由（1）知，故
由得或
在上当变化时，变化情况列表得
1
— 0 +
单调递减 极大值 单调递增
所以，当时，取得极大值
又，
所以在上的最大值为，最小值为 ……14分
（本问不列表，直接求也可以，步骤酌情给分）
19、（14分）已知数列的通项公式为，其前项和为，
（1）求并猜想的值；
（2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的结论.
解：（1），，，
， （算对一个1分）…………………4分
猜想： ………………6分
（2）由（1）知即证明
①当时，，猜想成立； ………7分
②假设时猜想成立，即 …………9分
则 时
…………10分
…………………12分
所以，时，猜想也成立； …………………13分
由①、②可得 …………………14分
20、（14分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：
①上恒成立
②
解：（1）函数 …………………1分
当时，，则上是增函数 ………2分
当时，由得
由得 ………4分
则上是增函数，在上是减函数 ………5分
(采用列表的方式也要给满分)
（2）解法一：由（I）知时，递增，而不
成立，故 …………………7分
又由（I）知，因为恒成立，
所以,解得 …………9分
所以,实数的取值范围为.
解法二（分离变量法）：
……9分
所以,实数k的取值范围为.
（3）①证明:由（2）知，当时有在恒成立，
由(1)知当时上是减函数，且，
所以,时, 恒成立,
即上恒成立 . ……………………11分
②证明：令，则，即，从而，
所以
即 ………………14分
D
C
B
A
B
C
班级 登分号 姓名 统考号
密 封 线 内 不 要 答 题
密 封 线 内 不 要 答 题