安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题 Word版含答案解析

安徽省名校联盟10960100114046002020—2021学年第二学期期末考试卷
高二文科数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清晰.
3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效.
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀.
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集false，集合false，则false（　　）
A.false B.false
C.false D.false
2.已知i为虚数单位，复数z满足false，则z为（　　）
A.i B.false C.false D.false
3.函数false的图象大致是（　　）
A.B.C.D.
4.某人在网上购买了100只青岛产的虾开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：

中小虾
大虾
白色
40
15
灰色
20
25
则可以认为大虾与其颜色有关的概率（　　）
参考公式：false其中false
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.至多为99.9% B.至少为99.5% C.至多为0.5% D.至少为0.1%
5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）

A.4 B.8 C.16 D.64
6.若点false在双曲线false）的一条渐近线上，则它的离心率为（　　）
A.false B.2 C.false D.false
7.在平行四边形false中，设false，false，为false的靠近D的三等分点，false与false交于F，则false（　　）
A.false B.false C.false D.false
8.如图所示，在矩形false内，线段false与圆弧false相切于D，已知矩形的长和宽分别为false和1，现在向矩形false内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（　　）

A.false B.false C.false D.false
9.小张于2020年1月5号申请到了10万的无息创业贷款，约定：2021年的1月5号开始还贷，每月还贷额比上一次多10%，于2022年的12月5号还清，则小张第一次应该还贷约为（　　）
注意：false，false，false
A.1017元 B.1130元 C.1257元 D.4167元
10.若连续函数false，false的定义域为同一闭区间，则false，满足：false，是false成立的（　　）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.不充分不必要条件
11.动点P，Q分别在函数false，false的图象上运动，则false的最小值为（　　）
A.false B.false C.false D.false
12.定义false，false为不超过x的最大整数，例如false，false，false，若区间false（false为正整数）在数轴上任意滑动，则区间false取盖数轴上整数的个数为（　　）
A.false B.false
C.false D.false
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.
13.false的值为__________.
14.已知实数x，y满足不等式组false，若false则z的最大值为__________.
15.直线l过定点false，且与双曲线false有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为__________.
16.在四棱锥false中，若falsefalse，四棱锥false外接球表面积为__________.
三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤.
17.（10分）
在等差数列false中，已知false，false分别为复数false的实部与虚部.
（1）求false的通项公式；
（2）令false求数列（false的前n项和false，
18.（12分）
在三角形false中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，false.
（1）若false，false，false平分角A交false于D，求false的长；
（2）若b，c为函数false的两个不同的零点，求false边上的高.
19.（12分）
小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：
利润占投入的百分比
10%
5%
false
频率
50%
40%
10%
利润占投入的百分比
10%
5%
false
频率
40%
x
y
项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.
（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；
（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并闸述你的理由.
20.（12分）
如图所示，在四棱锥false中，底面false为等腰梯形，false底面false，false，false，对角线false与false交于点，连接false.
（1）求证：false；
（2）求三棱锥false的体积.
21.（12分）
函数false的图象为曲线false关于直线false的对称曲线，false，设false为函数false的导函数.
（1）当false时，求false的零点；
（2）false时，设false的最小值为false，求证：false.
22.（12分）
已知椭圆false的离心率为false，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线false的两条渐近线于E，C，得到三角形false的面积为1.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设false的中点为Q，且false，试判断false的面积是否为定值，并说明理由.
安徽省名校联盟2020—2021学年第二学期期末考试
高二文科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】由题意可知，false，所以选D.
2.【答案】A
【解析】因为false，所以false.
3.［答案】A
【解析】false为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D，又false，排除B，C，所以选A.
4.【答案】B
【解析】补成如下的2×2列联表：
中小虾
大虾
合计
白色
40
15
55
灰色
20
25
45
合计
60
40
100
所以false，以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%.
5.【答案】B
【解析】最后输出的结果为false.
6.【答案】C
【解析】双曲线false的渐近线方程false，因为点false在双曲线false的一条渐近线上，所以false，所以false，它的离心率为false.
7.【答案】A
【解析】如图，在false上取C点，使得false，在false上由左到右取K，H，使得false，连接false，false，则false，因为false且false，所以false（相似比），所以false，所以false.
8.【答案】D
【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为false和1，所以false拱高为1，
所以false，false，所以图中阴影部分的面积false，
又矩形false的面积为false，所以质点落在图中阴影部分的概率为false.
9.【答案】B
【解析】设小张第一次应该还贷a万元，则"false，所以false.
10.【答案】B
【解析】若false，满足：false，则false，false，
所以false，所以是充分的；
若false，则false，false，显然false，
但不存在m，满足：false，所以不必要的.
11.【答案】C
【解析】false，∴false，设动点false，
当false在P点处切线与false平行，
过点P作直线垂线，垂足为点Q时，false取得最小值，即为两平行直线间的距离，
亦即点P到直线false的距离是false的最小值.
令false，解得false，故false，所以|false.
12.【答案】C
【解析】因为false为整数，
所以当n为整数时，m也为整数，所以此时false覆盖数轴上false个整数，
当n不是整数时，m也不是整数，所以此时false数轴上覆盖false个整数.
可以验证：区间false覆盖数轴上整数的个数为false，所以选C.
13.【答案】0
【解析】false.
14.【答案】false
【解析】作出不等式组false，false
所对应的可行域如图.其中false，当且仅当动直线过点false时，则z的最大值为false.
15.【答案】2
【解析】因为点false在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切.
16.【答案】false
【解析】因为false，∠false所以false，
即四边形false四点共圆，
四棱锥false的外接球与三棱锥false的外接球为同一个，
又false，false，
所以三棱锥false为正四面体，
如图，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，
易求得外接球半径false，所以外接球表面积false.
17.【解析】（1）设公差为d，
因为false，false分别为复数false的实部与虚部，
所以false，false.
所以false，所以false，
所以false，
即false的通项公式为false；
（2）false，
所以false
false
false.
18.【解析】（1）因为false
false
在三角形false中，由正弦定理得，false，
因为false，false，
所以false；
（2）因为b，c为函数false的两个不同的零点，
所以false，false，
在三角形false中，由余弦定理得，
false，
设BC边上的高为h，
因为false，false，所以false，
所以false.
19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为false，
投资项目B的平均利润率为false
因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，
所以false，
解得false，false，
所以投资A项目不亏损的概率为false，
投资B项目不亏损的概率为false；
（2）考察角度一：
由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.
考察角度二：
投资A项目利润率的方差为，false.
投资B项目利润率的方差为（false.，
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，
即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.
20.【解析】（1）延长false、false交于一点R，
因为false，false，
所以false为正三角形，且false为三角形RBC的中位线，即A为false边的中点，
所以false，
因为false底面false，false平面false，所以false，
因为false，所以false平面false，false平面false，
所以false；
（2）三棱锥false即三棱锥false.
因为false，所以false，
由（1）得，false，
因为false底面false，false，
所以三棱锥false的体积即三棱锥false的体积false.
21.【解析】函数false的定义域为false，
false为false上的增函数.
（1）当false时，false，
false
因为false为false上的增函数，
所以false在false上有唯一的零点1；
（2）当false时，false，false，
因为false为false上的增函数，
所以false在false上有唯一的零点false，且false为函数false的极小值点，
所以false，
因为false，false为false上的减函数，
所以false，即false.
22.【解析】（1）因为椭圆C：false的离心率为false，
所以false，其中false
双曲线false的两条渐近线的方程为false
设false，则false，
因为三角形false的面积为1，所以false，所以false，
false，false，
所以椭圆C的方程为false；
（2）①当直线false的斜率不存在时，
因为false，
所以false，此时false的方程为false；
或false，此时false的方程为false.
将false，代入椭圆方程false得，false，false
所以false的面积为false.
由椭圆轴对称性得：当false的方程为false时，false的面积也为false；
（2）当直线false的斜率存在时，
设直线false方程为false，
设false，false，false，
因为false的中点为false，且false，所以false的重心是坐标原点false，
所以false，
联立false和false，
得false，false
当false时，false，false，
所以false，false，
故false，
因为点false在糊圆上，所以代入椭圆整理得false，满足false，
因而false与false满足的等式关系为false①
当false时，false，
因为false的重心是坐标原点false，所以false的面积为false的面积的3倍，
设直线false与false轴交与点false，则false.
那么false的面积为false，
关系式（1）代入得false，
综合①②得，false的面积为定值false.