广东省东莞市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

东莞市false学年度第二学期期末教学质量检查高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1.已知false，false是虚数单位false，则复数z对应的点位于false
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量false，false共线，则x的值为false
A.false B.0 C.1 D.2
3.图1是水平放置的false的斜二测直观图false，false是false的中点，则false中长度最长的线段为false
图1
A.OA B.OB C.AD D.AB
4.已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为false
A.87 B.false C.89 D.91
5.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为false
A.false B.false C.false D.false
6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图2，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得false，false，false，在点B处测得塔顶T的仰角为false，则塔高OT为false
A.false B.false C.false D.false
false年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图false图false和前200名中高一学生排名分布的频率条形图false图false前200名学生分布的饼状图
图1
前200名中高一学生排名分布的频率条形图
图2
则下列命题错误的是（ ）
A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B.成绩第false名的100人中，高一人数不超过一半
C.成绩第false名的50人中，高三最多有32人
D.成绩第false名的50人中，高二人数比高一的多
8.在四边形ABCD中，false，false，false，false，则AD的长为（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9.袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，从中取两个球，每次取一个球，取球后不放回，设事件false第一个球是红球false，false第二个球是黄球false，则下列结论正确的是
A.A与B互为对立事件 B.A与B互斥
C.false D.false
10.已知复数false，false是z的共轭复数，则下列结论正确的是
A.若false，则false B.若false，则false
C.若false，则false D.若false，则false
11.已知false与false均为单位向量，其夹角为false，则下列结论正确的是
false B.false
C.false D.false
12.如图，在正方体false中，M，N，P分别为棱false，
false，false的中点，则下列结论正确的是
A.false平面false
B.点P与点D到平面false的距离相等
C.平面false截正方体false所得截面图形为等腰梯形
D.平面false将正方体false分割成的上、下两部分的体积之比为false
三、填空题：
13.如图，由A，B两个元件组成一个串联电路，元件A，B正常工作的概率分别为false和false，则电路正常工作的概率为__________.
14.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的false如图false如果被截正方体的棱长为false，那么玩具石凳的表面积为__________.
15.已知点false，false，C为坐标平面内一点，且false，则满足条件的点C的一个坐标为__________.
16.“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体false如图false如图2所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC与BPD为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O，半径为false用平行于底面ABCD的平面false去截“四脚帐篷”所得的截面图形为__________;当平面false经过OP的中点时，截面图形的面积为__________.
图1 图2
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17.设复数false，false，记复数z与false分别对应复平面内的点false和false
(1)根据复数及其运算的几何意义，求Z和false两点间的距离;
(2)已知false为正实数false表示动点Z的集合是以点false为圆心，r为半径的圆.那么满足条件false的点Z的集合是什么图形?并求出该图形的面积.
18.在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，false现有下列四个条件：①false，②false，③false，④false
(1)③④两个条件可以同时成立吗?请说明理由;
(2)请在上述四个条件中选择使false有解的三个条件，并求出false的面积.
19.如图10，四棱锥false中，ABCD为正方形，E为PC中点，平面false平面ABCD，false，false
(1)证明：false平面false
(2)证明：false
(3)求三棱锥false的体积.
20.如图，斜坐标系xOy中，false，false分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且false，false的夹角为false，定义向量false在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对false在斜坐标系xOy中完成下列问题：
(1)若向量false的坐标为false，计算false的大小;
(2)若向量false的坐标为false，向量false的坐标为false，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①false若false，则false命题②false若false，则false
false月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间false单位：小时false的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间false单位：小时false的频率分布直方图：false以各组的区间中点值代表该组的各个值false女生一周自读时间颊率分布直方图
(1)从一周课外阅读时间为false的学生中按比例分配抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率;
(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数false，false
(3)估计总样本的平均数false和方差false
参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为false和false
false，false和false分
别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中false
22.如图1，“雪糕筒”为校园中常见的交通标识，其可以近似的看成一个圆锥.如图2，放置在水平地面上的某型号“雪糕筒”底面直径false，母线false，该“雪糕筒”绕点B被放倒后A、B、false在同一条直线上.
? ? ?图1 图2
(1)求“雪糕筒”被放倒后最高点离水平地面的距离;
(2)求直线PB与圆面false所成的角的余弦值;
(3)若放倒后的“雪糕简”绕点false沿水平地面旋转一周，请说明旋转一周形成的曲面所围成的旋转体的特征false不用说明理由false
东莞市2020－2021学年度第二学期期末教学质量检查
高一数学 参考答案
一、单项选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
C
B
A
D
B
二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号
9
10
11
12
答案
CD
AB
AC
BCD
三、填空题（16题第一空2分，第二空3分）
13. 0.72 14. false 15. false （形如false的坐标均正确） 16. 正方形，false
四、解答题
17. 解：（1）解法1：因为点false对应的复数分别为false， 1分
所以点false和false之间的距离false 3分
falsefalse. 5分
解法2：复数false，分别对应向量false， 1分
所以false 3分
falsefalse . 5分
说明：直接写出结果false，只给2分.
（2）由题知方程false表示的动点false的集合是以点false为圆心、1为半径的圆， 6分
方程false表示的动点false的集合是以点false为圆心、3为半径的圆， 7分
故不等式false表示的动点false的集合是以点false为圆心、半径分别为1和3的两个圆所形成的圆环形图形（含边界） ， 9分
所以该圆环形图形的面积为false. 10分
18.解：（1）由条件③及正弦定理得false， 1分
由false，得false， 2分
展开得false，
即false， 3分
因为false，所以false，即false， 4分
因为false，所以false. 5分
由条件④得，false ， 7分
因为false，所以false ， 8分
在false中，false不符合题意，所以false不能同时满足条件③④． 9分
（2）因为false同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足，则满足三角形有解的所有组合为或．
若选择组合：
由false，得false，解得false ， 10分
因为false所以false，即false为直角三角形，解得false， 11分
所以false的面积false. 12分
若选择组合：
由false，即false，解得false， 10分
由false，且false得false， 11分
所以false的面积false． 12分
40011352984519.证明：（1）连接false交false于点false，连接false, 1分
因为四边形false为正方形，所以点false为false的中点，
又false为false的中点，所以false, 2分
又因为false，false, 3分
所以 false. 4分
（2）因为四边形false为正方形，所以false， 5分
又因为平面false平面false，平面false平面false,false平面false， 6分
所以false平面false， 7分
因为false平面false，
所以false. 8分
解：（3）取false中点false，连接false，
因为false，所以false，
又因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
所以false平面false， 9分
由false，false，
得false，false， 10分
记点false到平面false的距离为false，因为false为false的中点，所以false， 11分
所以false. 12分
说明：若false平面false在第2问已经证明，则前两问共9分.
20.解：（1）由题知false， 1分
故false 3分
false. 4分
（2）由题知false，
命题①是真命题.
a. 当false时，即false，显然false; 5分
b. 当false时，即false至少一个不为false，不妨设false,
若false，则存在false，使得false，故false, 6分
即false，
因为false不共线，所以false， 7分
由false，带入false得false，即false.
综上所述，命题“若false，则false”是真命题. 8分
命题②是假命题.
解法1：若false，
则false
false， 10分
当false时，结论false不成立， 11分
所以，命题“若false，则false”是假命题. 12分
解法2：令false的坐标为false，false的坐标为false，则false， 9分
因为false，所以false， 10分
此时false， 11分
所以，命题“若false，则false”是假命题. 12分
21. 解：（1）一周课外阅读时间为false的学生中男生有3人，女生有false人，
若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为false,女生有5人，记为false，false，false，false，false， 1分
则样本空间false， 2分
记事件false“恰好一男一女”，则false， 3分
所以false，
所以从这6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率为false. 4分
（2）估计男生一周课外阅读时间平均数false； 6分
估计女生一周课外阅读时间的平均数false. 8分
（3）估计总样本的平均数false， 9分
false，false，
false，false， 10分
false，false， 11分
false，
所以估计总样本的平均数和方差分别是3.6和3. 12分
37788857429522. 解：（1）由图可知，“雪糕筒”绕点false被放倒后false、false、false在同一条直线上，所以轴截面false与地面垂直，故点false为放倒后的最高点， 1分
在false中，false，所以false， 2分
所以false， 3分
解得false，即最高点false离水平地面的距离为false. 4分
（2）由题知，轴截面false圆面false，且轴截面false水平地面，轴截面false圆面false，且轴截面false水平地面，
因为false、false、false在同一条直线上，所以false五点共面， 5分
故平面false圆面false，即直线false在圆面false内的射影为直线false，
所以false为直线false与圆面false所成的角， 6分
解法1：在直角梯形false中，false， 7分
可得false， 8分
在false中，false，
所以直线false与圆面false所成的角的余弦值为false. 9分
解法2：设false，则false, 7分
在false中，false， 8分
所以false，
所以直线false与圆面false所成的角的余弦值为false. 9分
42487857620（3）如图所示，放倒后的“雪糕筒”绕点false沿水平地面旋转一周形成的曲面所围成的旋转体为半球（第一个得分点）被平行于底面的平面截去平面上方的部分，留下截面与底面之间的部分（第二个得分点），再挖去一个以截面圆为底面、球心为顶点的圆锥（第三个的分点）所剩下的部分. 12分
说明：每个得分要点1分，共3分.