理科数学考前帮你归纳总结（四）：立体几何常见题型与解法

理科数学考前帮你归纳总结（四）：立体几何常见题型与解法
一、求空间角问题
1．异面直线所成的角
设异面直线的方向向量分别为。则与所成的角满足对应的锐角或直
角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。。
2．线面所成的角
设直线的方向向量与平面的法向量分别为，则直线的方向向量与平面所成角满足。
3．二面角的求法
二面角，平面的法向量，平面的法向量。二面角的大小为,
若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，
当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；
即：;
当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则为二面角的平面角。
即：;
图（1） 图（2）
例1：在棱长为的正方体中，分别是的中点，
（1）求直线所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成角的余弦值；
解：（1）如图建立坐标系，则
，
故所成角的余弦值为。
所以在平面内的射影在的平分线上，
又为菱形，为的平分线，
故直线与平面所成的角为，
建立如图所示坐标系，则，
，
故与平面所成角的余弦值为
（3）由，
所以平面的法向量为下面求平面的法向量，
设，由，
，
，所以平面与平面所成角的余弦值为。
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;
（II）若二面角P-A C-E的余弦值为，
求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、
y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．
设P(0，0，a)（a＞0），
则E(，－，)，
＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，
＝(，－，)，
取m＝(1，－1，0)，则
m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．
设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，
即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，
依题意，|cosm，n|＝＝＝，则a＝2．
于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos，n|＝＝，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
例3：如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E， F分别CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图），
设AD=PD=1，AB=（），
则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0),
P(0,0,1), .
得，，.
由，得，
即，
同理，又， 所以EF平面PAB.
（Ⅱ）解：由，得，即.
得，，.
有，，.
设平面AEF的法向量为，
由，
解得. 于是.
设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为.
则. .
所以，AC与平面AEF所成角的正弦值为.
二、探索性问题
例4．如图，在直三棱柱中，
（1）求证（2）在上是否存在点使得
（3）在上是否存在点使得
解：直三棱柱，两两垂直，
以为坐标原点，直线分别
为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
（1），
（2）假设在上存在点，使得，则
其中，则，于是，
由于，且
所以得，
所以在上存在点使得，且这时点与点重合。
假设在上存在点使得，
则其中
则，，
又由于，，
所以存在实数成立，
所以，所以在上存在点使得，且使的中点。
三、范围问题
例5.如图，在梯形中，，，四边形 为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与
平面所成二面角的平面角为
，试求的取值范围.
（1）证明：在梯形中，
∵ ,，
∠＝，∴
∴
∴ ∴　⊥
∵ 平面⊥平面,平面∩平面,
平面 ∴ ⊥平面
（2）由（1）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标
系，令，则，
∴
设为平面的一个法向量，
由 ，
联立得 ，
取，则
∵　是平面的一个法向量
∴
∵ ∴　当时，有最小值，
当时，有最大值. ∴
四、折叠问题
例6。在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（3）求二面角B－A1P－F的余弦值.
解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .
(1)在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形，
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．
(2)建立分别以ED、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),
则,．
设平面ABP的法向量为，
由平面ABP知，，即
令，得，．
,
, 所以直线A1E与平面A1BP所成的角为600．
(2) ，设平面AFP的法向量为．
由平面AFP知，，即
令，得，．
,
所以二面角B-A1P-F的余弦值是．
五、用法向量求点到平面的距离
如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的 距离为；
例7、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2.
（I）证明：AB1⊥BC1；
（II）求点B到平面AB1C1的距离;
（III）求二面角C1—AB1—A1的大小
5解：（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.
依题意A（2，0，0），B（0，2，0），
B1（0，2，2），C1（0，0，2），
因为，所以AB1⊥BC1.
（2）设是平面AB1C1的法向量，
由得
所以令，
则，因为，
所以，B到平面AB1C1的距离为.
（3）设是平面A1AB1的法向量.由
令=1，则
因为所以，二面角C1—AB1—A1的大小为60°
O
A
P
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
A
B
C
D
E
F
G
x
y
z
D
A
C
E
P
B
x
y
z
A
B
C
D
E
F
x
y
z
P
C
A
B
x
D
y
Z