5.3 应用一元一次方程--水箱变高了 教学设计

中小学教育资源及组卷应用平台
课题 5.3应用一元一次方程
—水箱变高了 教材版本
北师大数学七年级
学习目标
1.通过分析图形问题中的数量关系，借助表格找等量关系.
2.会根据等量关系列一元一次方程解决“等积问题”和“等长问题.”
重点： 寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程模型，使实际问题数学化.
难点： 寻找图形问题中的等量关系，建立方程模型，解决实际问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

情境引入 一、教师出示课件：
1.教师以“郑州市某小学响应国家号召，解决本校学生中午在校就餐问题，需要对原有水箱进行改造”这一问题作为情境引入.引出本节课的课题：应用一元一次方程—水箱变高了.
2.出示学习目标
3.出示生活中的几个“等体积”或“等周长”实例. 学生思考：水箱的底面“直径”与“高”发生变化时，水箱的体积是否发生变化.
明确目标
让学生感知变化中存在不变量. 结合生活实际引出本节课题，说明数学来源于生活，培养学生关注社会热点的意识，激发学生的学习数学的兴趣，让让学生初步体会“形、积变化”问题，
出示目标让学生明确学习方向
让学生感知数学与日常生活密切相关

探究新知
二、出示课件
（一）情境引入：郑州市某小学为了响应国家号召，解决该校学生中午在校就餐问题，决定对餐厅外面原有的高和底面直径均为4米的圆柱形水箱进行改造，为减少占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m,那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？
想一想：
①题目中有哪些量？哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
②.等量关系是什么？
③试列出相应的一元一次方程并求出新水箱的高.
等量关系：
旧水箱的容积＝新水箱的容积
解：设水箱的高变为 x m，填写下表：
根据等量关系，列出方程： .
解方程得 .
因此，高变成了 .
(二)典例精析：
为安全起见，学校决定用20米的铁栅栏围成1个长方形，将水箱围起来.
（1）由于受地形等条件限制，围成长方形的长比宽多2.8米，该长方形的长、宽各多少米？面积是多少平方米？
解： 设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+2.8)m. 根据题意，得
(x+2.8 +x) ×2 =20
解得 x =3.6
2.8+3.6=6.4
此时长方形的长为6.4m，宽为3.6m.
S1=6.4 × 3.6=23.04(m2).
（2）后来经过进一步规划，使围成的长方形的长比宽多1.6米，该长方形的长、宽各多少米? 面积是多少平方米?与（1）中的长方形比面积发生了什么化？
解：设此时长方形的宽为x m，
则它的长为（x+1.6）m.根据题意，得(x+1.6 +x) ×2 =20
解得 x=4.2
4.2+1.6=5.8
此时长方形的长为5.8m，宽为4.2m，
S2=5.8 ×4.2=24.36(m2).
S2> S1面积变大.
（3）为了美观，使长方形长与宽相等,即围成一个正方形,该正方形边长是多少米?面积是多少平方米?与上面的长方形比面积又有什么变化？
解：设正方形的边长为x m.根据题意，得 (x +x) ×2 =20
解得 x=5
正方形的边长为5m
S3=5 × 5 =25(m2)
发现：S1< S2< S3
（二）请将（1）（2）（3）中的长、宽、周长、面积填在下列表格中.
长
宽
周长
面积
（1）
（2）
（3）
1.从表中的数据你发现哪些量发生了变化？哪些量没有变化？
2.随着长方形长与宽的差变化，它的面积怎样变化？
3.当周长一定时，长方形的面积与它的长、宽之差有什么关系？何时面积最大？小组之间讨论解答.
（三）归纳总结：
周长为20米时，所围成的三角形的面积依次为：
当长、宽相差2.8米时：
当长、宽相差1.6米时：
当长、宽等时：
由此你可得什么结论？
1.周长一定时，长和宽差距越小，面积越大.
2.长方形的周长一定时，当且仅当长、宽相等时面积最大，即：周长不变时，围成正方形的面积最大.
（四）.应用一元一次方程解决问题的一般步骤是什么？
三：能力提升：
为了节约材料和安全考虑，学校准备将水箱靠墙放置（墙足够长），然后用12米长的铁栅栏围成一个长方形.
要求：请根据所学内容，以小组单位，自己提出问题并解答 通过三个问题，逐步明确在水箱的底面、高发生变化时，体积始终不变.
鼓励学生积极思考，自主解决问题，小组交流，总结发言，大胆提出自己的观点,教师及时鼓励和纠错.总结提高学生应用一元一次方程——水箱变高了的认知.学生通过认真思考，正确寻找题目中的等量关系，利用一元一次方程解决实际问题，达到巩固“等体积变形”这类问题的目的.
让学生思考“相同质量相同的物质”体积有什么关系？
学生初步感知当周长一定时，根据长、宽之间的关系，可以求出所围成的长方形的长与宽，以及长方形的面积.
由（1）（2）所围成的长方形的长与宽，以及长方形的面积之间的关系，学生获得了直观的经验，即：周长一定时，长和宽差距越小，面积越大.
由（3）验证：当且仅当长、宽相等时面积最大，即：周长不变时，围成正方形的面积最大.
学生通过整理表格，观察表格中的数据，发现“周长一定时，长和宽差距越小，面积越大，围成正方形的面积最大.”
整理总结：
S1=3.6×6.4
=23.04(m2)
S2=5.8×4.2
=24.36(m2)
S3=5×5
=25(m2)
总结周长一定时，长、宽之差与面积的关系.
讨论，总结规范的做题步骤.
小组互助，在限定条件下编应用题. 让学生初步体会到“形”之间的变与不变的关系，借助“容积不变”这个等量关系，抽象数学问题，利用解方程方法解决实际问题.
引导学生通过填表，找到等量关系，正确列出方程.同时还可以锻炼学生思维的主动性.
在解决实际问题的过程中,让学生体会应用一元一次方程——水箱变高了.这是一个“等体积变形”问题，在经历探索的过程中，增强学生数学理性思维问题的意识，规范的数学书写格式.
通过对“等周长”问题的探究，让学生先初步感知当周长一定时，根据长、宽之间的关系，可以求出所围成的长方形的长与宽，以及长方形的面积.
接下来改变长宽之差，通过运算，让学生进一步感知当周长一定时，根据长、宽之间的关系，可以求出所围成的长方形的长与宽，以及长方形的面积.同时感知当长、宽的差变小时，所围成长方形的面积变大，使其获得直观感受，积累数学经验，再由延伸部分进一步强化其直观感受，为归纳总结部分做好了铺垫.三个问题层层递进，有利于学生高阶思维的培养.
通过整理、归纳、总结的过程，使学生明白解决等长问题的思路和方法，提高他们归纳总结的能力.
总结步骤，规范过程.
学生通过思考，利用“长度不变”这一关键条件编应用题，应用一元一次方程解决实际问题.

课时小结 四.小结反思：
通过本节课的学习:
你学到了什么？
你还有那些疑惑？
你还想知道什么？
数学家笛卡尔的预言 学生大胆说出自己的收获与体会与感受. 促进了学生的表达与交流，为后续学习打下基础。课件展示归纳使知识更系统化，便于学生记忆.用数学家笛卡尔的预言告诫学生学好方程的重要性.
作业布置 五:当堂检测：
（见学习案）

板书设计 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_